Question

鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的．彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)外軌高度差h的設(shè)計不僅與r有關(guān)，還取決于火車在彎道上的行駛速率．下圖表格中是鐵路設(shè)計人員技術(shù)手冊中彎道半徑r及與之對應(yīng)的軌道的高度差h．

彎道半徑r/m	660	330	220	165	132	110
內(nèi)外軌高度差h/mm	50	100	150	200	250	300

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試導(dǎo)出h和r關(guān)系的表達式，并求出當(dāng)r=550m時，h的設(shè)計值；
（2）鐵路建成后，火車通過彎道時，為保證絕對安全，要求內(nèi)外軌道均不向車輪施加側(cè)向壓力，又已知我國鐵路內(nèi)外軌的間距設(shè)計值為L=1435mm，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，算出我國火車的轉(zhuǎn)彎速率v（g=9.8m/s，以km/h為單位，結(jié)果取整數(shù)；路軌傾角很小時，正弦值按正切值處理）
（3）隨著人們生活節(jié)奏加快，對交通運輸?shù)目旖萏岢隽烁�高的要求．為了提高運輸力，2007年4月18日鐵道部將對鐵路進行第六次大面積提速，這就要求鐵路轉(zhuǎn)彎速率也需要提高．請根據(jù)上述計算原理和上述表格分析提速時應(yīng)采取怎樣的有效措施？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，每組的h與r之乘積均等于常數(shù)，根據(jù)這個關(guān)系求出當(dāng)r=550m時，h的設(shè)計值．
（2）對火車受力分析，通過合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出火車的轉(zhuǎn)彎速率v．
（3）當(dāng)速度增大，根據(jù)牛頓第二定律分析采取的有效措施．
解答：解：（1）分析表中數(shù)據(jù)可得，每組的h與r之乘積均等于常數(shù)：
C=660m×50×10^-3m=33m²   因此：h?r=33（或h=33）①
當(dāng)r=550m時，有：h=m=0.06m=60mm      
（2）轉(zhuǎn)彎中，當(dāng)內(nèi)外軌對車輪沒有側(cè)向壓力時，火車的受力如圖所示．由牛頓第二定律得：
  ②
因為θ很小，有：③
由②，③可得： ④
代入數(shù)據(jù)得：v=15m/s=54km/h
（3）由④式可知，可采取的有效措施有：
a．適當(dāng)增大內(nèi)外軌的高度差h；
b．適當(dāng)增大鐵路彎道的軌道半徑r．
答：（1）當(dāng)r=550m時，h的設(shè)計值60mm．
（2）我國火車的轉(zhuǎn)彎速率v為54km/h．
（3）可以適當(dāng)增大內(nèi)外軌的高度差h；適當(dāng)增大鐵路彎道的軌道半徑r．
點評：解決本題的關(guān)鍵能夠正確地受力分析，搞清向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進行求解．