Question

如圖所示，斜面傾角為θ，一塊質量為m、長為l的勻質板放在很長的斜面上，板的左端有一質量為M的物塊，物塊上連接一根很長的細繩，細繩跨過位于斜面頂端的光滑定滑輪并與斜面平行，開始時板的右端距離斜面頂端足夠遠．試求：
（1）若板與斜面間光滑，某人以恒力F豎直向下拉繩，使物塊沿板面由靜止上滑過程中，板靜止不動，求物塊與板間動摩擦因數μ₀；
（2）在（1）情形下，求物塊在板上滑行所經歷的時間t₀；
（3）若板與物塊和斜面間均有摩擦，且M=m，某人以恒定速度v=

2glsinθ

，豎直向下拉繩，物塊最終不滑離板的右端．試求板與物塊間動摩擦因數μ₁和板與斜面間動摩擦因數μ₂必須滿足的關系．

Answer 1

分析：（1）物塊沿板面由靜止上滑過程中，板靜止不動，可知板受力平衡，由受力平衡合外力為零可求得摩擦力，進一步可求得μ₀．
（2）物塊沿板面由靜止上滑過程中，板靜止不動，物塊上滑，其受力都為恒力，可知其做勻加速直線運動，由牛頓第二定律可求出加速度a，再由：l=

1

2

a0

t

2 0

可求出需要的時間．
（3）物塊最終不滑離板的右端．說明物塊和木板最終要達到相同的速度v，表示出物塊的加速度，求出其速度達到v用的時間t₁；臨界條件是到達木板上端時恰好達到v，求出此時所需時間t₂，只需要讓 t₁≤t₂即可．

解答：解：（1）分別對物塊和木板受力分析并建立如圖所示的直角坐標系，
對木塊M：G₁=Mg，則：F₁=Mgcosθ，
又：M在Y軸方向受力平衡，
所以F₃=F₁=Mgcosθ．
又：f=μ₀F₁=μ₀Mgcosθ
對板m：因為靜止，所以X、Y方向分別受力平衡：
X軸方向：F₅=G₂sinθ=mgsinθ；f=μ₀Mgcosθ；
所以：mgsinθ=μ₀Mgcosθ；
得：μ0=

m

M

?tanθ
（2）設物塊M的加速度為a₀，物塊Y方向合力為零，所以合力即為X軸上的合力：
X軸方向：F₂=G₁sinθ=Mgsinθ；f=μ₀Mgcosθ；
所以：F_合=F-Mgsinθ-μ₀Mgcosθ
由牛頓第二定律：F=ma得：
F-Mgsinθ-μ₀Mgcosθ=Ma₀
即：a₀=

F-Mgsinθ-μ0Mgcosθ

M

又：l=

1

2

a0

t

2 0

帶入數據得：
聯立解得：t0=

2Ml F-(M+m)gsinθ

（3）設物塊在板上滑行的時間為t₁，板的加速度為a，
對板有：Y方向合力為零，所以合力即為X方向的合力：
X軸方向：f=μ₁Mgcosθ；f₁=μ₂（M+m）gcosθ；F₅=G₂sinθ=mgsinθ
所以：F_合=μ₁Mgcosθ-mgsinθ-μ₂（M+m）gcosθ
由牛頓第二定律：F=ma得：
μ₁Mgcosθ-mgsinθ-μ₂（M+m）gcosθ=ma①
且物塊最終不滑離板的右端．說明物塊和木板最終要達到相同的速度v：所以有：v=at₁②
①②聯立解得 t1=

mv

μ1Mgcosθ-mgsinθ-μ2(M+m)gcosθ

又設物塊從板的左端運動到右端的時間為t₂，
則：vt2-

1

2

vt2=l
t2=

2l

v

為使物塊最終不滑離板的右端，必須滿足 t₁≤t₂
即

mv

μ1Mgcosθ-mgsinθ-μ2(M+m)gcosθ

≤

2l

v

代入v=

2glsinθ

解得：μ₁-2μ₂≥2tanθ
所以要使物塊最終不滑離板的右端，μ₁與μ₂必須滿足μ₁-2μ₂≥2tanθ
答：
（1）物塊與板間動摩擦因數μ0=

m

M

?tanθ．
（2）在（1）情形下，求物塊在板上滑行所經歷的時間t0=

2Ml F-(M+m)gsinθ

（3）若板與物塊和斜面間均有摩擦，且M=m，某人以恒定速度v=

2glsinθ

，豎直向下拉繩，物塊最終不滑離板的右端．試求板與物塊間動摩擦因數μ₁和板與斜面間動摩擦因數μ₂必須滿足的關系為：μ₁-2μ₂≥2tanθ

點評：應用牛頓第二定律解題，關鍵是做好受力分析求出加速度，利用加速度把受力和物體的運動聯系在一起．