Question

從陰極K發射的電子經電勢差U₀=5000V的陽極加速后，沿平行于板面的方向從中央射入兩塊長L₁=10cm、間距d=4cm的平行金屬板A、B之間，在離金屬板邊緣L₂=75cm處放置一個直徑D=20cm、帶有紀錄紙的圓筒．整個裝置放在真空內，電子發射時的初速度不計，如圖1所示，若在金屬板上加上U=1000cos2πt（V）的交流電壓，并使圓筒繞中心軸按圖示方向以n=2r/s勻速轉動．
（1）以電子不偏轉時打在記錄紙上的位置為坐標原點，豎直向上為y軸，水平方向為θ軸，試計算電子打到記錄紙上的最高點的y坐標和θ坐標．
（2）分析電子在紀錄紙上（圖2）的軌跡形狀并畫出從t=0開始的1s內所紀錄到的圖形．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出電子加速后的入射速度．電子在AB板間做類平拋運動，在BD間做勻速直線運動，運用運動的分解，由牛頓第二定律和運動學結合求得電子飛離金屬板時的豎直偏轉距離y₁和豎直方向的分速度v_y，由勻速運動的規律求得電子從飛離金屬板到達圓筒時的偏距y₂，在紙筒上的落點對入射方向的總偏距為y=y₁+y₂．
（2）根據上題的結論得到在記錄紙上的點以振幅和周期，由于記錄紙上的點做簡諧運動，因為圓筒每秒轉2周，故可畫出在1 s內紙上的圖形．

解答：解：（1）對電子的加速過程，由動能定理得：eU₀=

1

2

mv₀²
得電子加速后的速度v₀=

2eU0 m

=

2×1.6×10-19×5000 0.91×10-30

m/s=4.2×10⁷m/s
電子進入偏轉電場后，由于在其中運動的時間極短，可忽略運動期間偏轉電壓的變化，認為電場是穩定的，因此電子做類平拋的運動．如圖所示．

交流電壓在A、B兩板間產生的電場強度 E=

U

d

=2.5×104?cos2πtV/m
電子飛離金屬板時的偏轉距離   y1=

1

2

a

t

2 1

=

1

2

eE

m

(

L1

v0

)2
電子飛離金屬板時的豎直速度   vy=at1=

eE

m

?

L1

v0

電子從飛離金屬板到到達圓筒時的偏轉距離   y2=vyt2=

eE?L1L2

m v 2 0

所以在紙筒上的落點對入射方向的總偏轉距離為
y=y1+y2=(

L1

2

+L2)?

eEL1

m v 2 0

=(

L1

2

+L2)

L1U2

2dU0

=0.20cos2πt m
記錄紙上最高點坐標（π，20cm）；（2π，20cm）
（2）可見，在紀錄紙上的點在豎直方向上以振幅0.20m、周期T=1s做簡諧運動．因為圓筒每秒轉2周，故轉一周在紙上留下的是前半個余弦圖形，接著的一周中，留下后半個圖形，合起來，1s內，在紙上的圖形如圖所示．

答：（1）電子打到記錄紙上最高點和θ的坐標（π，20cm）；（2π，20cm）．
（2）畫出從t=0開始的1s內所紀錄到的圖形如圖．

點評：本題粒子電子在組合電場中運動，分析電子的運動情況，運用動能定理和運動的分解進行研究是關鍵．