Question

天文學家經過用天文望遠鏡的長期觀測，在宇宙中發現了許多“雙星”系統，所謂“雙星”系統是指由兩個星體組成的天體系統．其中每個星體的線度均遠小于兩個星體之間的距離．根據對“雙星”系統的光學測量確定，這兩個星體中的每一星體均在繞二者連線上的某一點做勻速圓周運動，星體到該點的距離與星體的質量成反比，一般雙星系統與其他星體距離很遠，除去雙星系統中兩個星體之間的相互作用的萬有引力外，雙星系統所受其他天體的引力均可忽略不計．根據對一“雙星”系統的光學測量確定，此雙星系統中每個星體的質量均為m，兩者之間的距離為L．
（1）根據天體力學理論計算該雙星系統的運動周期T₀；
（2）若觀測到的該雙星系統的實際運動周期為T，且有T₀：T=

N

：1（N＞1），為了解釋T與T₀之間的差異，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在著一種用望遠鏡觀測不到的“暗物質”．作為一種簡化的模型，我們假定認為在以這兩個星體的連線為直徑的球體內部均勻分布著這種暗物質，若不再考慮其他暗物質的影響，試根據這一模型理論和上述的觀測結果，確定該雙星系統中的這種暗物的密度．

Answer 1

（1）雙星均繞它們的連線的中點做圓周運動，萬有引力提供向心力得：G

m2

L2

=m

4π2

T 20

?

L

2

解得：T0=πL

2L Gm

．
（2）根據觀測結果，星體的運動周期T=

1

N

T0＜T0這種差異是由雙星內均勻分布的暗物質引起的，均勻分布在球體內的暗物質對雙星系統的作用與一質量等于球內暗物質的總質量m'，位于中點O處的質點的作用相同．
則有：G

m2

L2

+G

mm′

( L 2 )2

=m

4π2

T2

?

L

2

解得：T=πL

2L G(m+4m′)

所以：m′=

N-1

4

m
設所求暗物質的密度為ρ，則有：

4

3

π(

L

2

)3ρ=

N-1

4

m
解得：ρ=

3(N-1)m

2πL3

答：（1）該雙星系統的運動周期T₀為πL

2L Gm

；
（2）該雙星系統中的這種暗物的密度為

3(N-1)m

2πL3

．