Question

如圖5-2-11所示，一塊足夠長的木板，放在光滑的水平面上，在木板上自左向右放著序號是1、2、3、…n的木塊，所有木塊的質量均為m，與木板間的動摩擦因數都相同.開始時，木板靜止不動，第 1、2、3、…n號木塊的初速度分別是v₀、2v₀、3v₀、…nv₀，方向都向右，木板的質量與所有的木塊的總質量相同，最終所有木塊與木板以共同的速度勻速運動.設木塊之間均無相互碰撞，木板足夠長，求：

圖5-2-11
（1）所有木塊與木板一起勻速運動的速度v_n；
（2）第1號木塊與木板剛好相對靜止時的速度v₁；
（3）通過分析與計算說明第k號（k<n）木塊的最小速度v_k.

Answer 1

(1)v₀  (2)  (3)v₀

(1)以n塊木塊和木板為研究對象,在全過程中,該系統動量守恒有:m(v₀+2v₀+…+nv₀)=(nm+nm)v_n,解得v_n=v₀.
(2)由于每個木塊與木板間的滑動摩擦力相同,在第1號木塊由速度v₀減為與木板剛好相對靜止時速度v₁過程中,對木板,其動量增量Δp₁=nm·v₁;對n個木塊動量的增量Δp₂=n［m·(v₁-v₀)］,由n個木塊與木板構成的系統動量守恒,則Δp₁+Δp₂=0,解以上各式得v₁=.
(3)當第k號木塊與木板相對靜止時,速度最小為v_k,對n個木塊與木板構成的系統,初始總動量p₁=m(v₀+2v₀+…+nv₀),此時總動量p₂=k(mv_k)+nm·v_k+p,式中p為此時從第k+1個木塊到第n個木塊的總動量.由于后面(n-k)個木塊每個木塊在相同時間內損失的動量都相同,且為m(kv₀-v_k),則p=［(k+1)+(k+2)+…+n］mv₀-(n-k)m(kv₀-v_k),根據系統總動量守恒,得p₁=p₂,解以上各式得v_k=v₀.