Question

如圖（a）所示，在坐標平面xOy內存在磁感應強度為B=2T的勻強磁場，OA與OCA為置于豎直平面內的光滑金屬導軌，其中OCA滿足曲線方程x=0.5sin(

π

3

y)m，C為導軌的最右端，導軌OA與OCA相交處的O點和A點分別接有體積可忽略的定值電阻R₁和R₂，其中R₁=4Ω、R₂=12Ω．現有一質量為m=0.1kg的足夠長的金屬棒MN在豎直向上的外力F作用下，以v=3m/s的速度向上勻速運動，設棒與兩導軌接觸良好，除電阻R₁、R₂外其余電阻不計，g取10m/s²，求：
（1）金屬棒MN在導軌上運動時感應電動勢的最大值；
（2）請在圖（b）中畫出金屬棒MN中的感應電流I隨時間t變化的關系圖象；
（3）當金屬棒MN運動到y=2.5m處時，外力F的大小；
（4）若金屬棒MN從y=0處，在不受外力的情況下，以初速度v=6m/s向上運動，當到達y=1.5m處時，電阻R₁的瞬時電功率為P₁=0.9W，在該過程中，金屬棒克服安培力所做的功．

Answer 1

（1）當金屬棒MN勻速運動到C點時，電路中感應電動勢最大
金屬棒MN接入電路的有效長度為導軌OCA形狀滿足的曲線方程中的x值．
因此接入電路的金屬棒的有效長度為L=x=0.5sin

π

3

y
則有．L_m=x_m=0.5m
感應電動勢，E_m=BL_mv      
解得：E_m=3.0V
（2）閉合電路歐姆定律，Im=

Em

R總

且R總=

R1R2

R1+R2

=3Ω，
解得：I_m=1.0A，
如圖所示，
（3）金屬棒MN勻速運動中受重力mg、安培力F_安、外力F_外作用
當y=2.5m時，x=0.5sin

5π

6

=0.25m
受力平衡，F外=F安+mg=BIL+mg=

B2x2v

R總

+mg=1.25N
（4）當y=1.5m時，x=0.5sin

π

2

=0.5m
此時P₁=0.9W，所以P總=

R1+R2

R2

P1=1.2W
P總=F安v=

B2x2vt2

R總

=1.2W     
得此時vt2=3.6（m/s）²
選取從y=0處到達y=1.5m處時，根據動能定理，則有：W克=

1

2

m

v

20

-

1

2

m

v

2t

解得：W_克=1.62J
答：（1）金屬棒MN在導軌上運動時感應電動勢的最大值為3V；
（2）請在圖（b）中畫出金屬棒MN中的感應電流I隨時間t變化的關系圖象如圖所示；
（3）當金屬棒MN運動到y=2.5m處時，外力F的大小為1.25N；
（4）若金屬棒MN從y=0處，在不受外力的情況下，以初速度v=6m/s向上運動，當到達y=1.5m處時，電阻R₁的瞬時電功率為P₁=0.9W，在該過程中，金屬棒克服安培力所做的功為1.62J．