Question

如圖所示，豎直平面內有一粗糙的圓弧圓管軌道，其半徑為R=0.5m，內徑很小。平臺高h=1.9 m，一質量m=0.5kg、直徑略小于圓管內徑的小球，從平臺邊緣的A處水平射出，恰能沿圓管軌道上P點的切線方向進入圓管內，軌道半徑OP與豎直線的夾角為37°。g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。不計空氣阻力。求：

（1）小球從平臺上的A點射出時的速度v₀是多大?

（2）小球通過最高點Q時，圓管軌道對小球向下的壓力F_Q＝3N，小球在圓管軌道中運動時克服阻力所做的功W是多少？

Answer 1

（1）v₀＝8 m/s

（2）W＝18.5 J

解析:

（1）設小球從A到P的過程中，運動時間為t，豎直位移為y，到達P點時豎直方向的速度是v_y，則

y＝h－R(1－cos37°)             ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)

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y＝1.8 m，t＝0.6 s

v_y＝gt                         ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)

                   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)

解得v₀＝8 m/s                 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)

（2）設小球在P點的速度為v_P，則

v_P＝                   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)

由動能定理有－mgh－W＝     ．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2分)

由牛頓第二定律有mg＋F_Q＝        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)

v_P＝10m/s，v_Q＝m/s  

解得W＝18.5 J                      ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)

（2）或解：設小球在Q點的速度為v_Q，則

L=（h－2R）                  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)

由動能定理有mgL－W＝    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2分)

由牛頓第二定律有mg＋F_Q＝         ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)

L=0.9m，v_Q＝m/s

解得W＝18.5 J                         ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)