Question

如圖所示，有一半徑為R質量為m的半球形凹槽P，放在光滑的水平地面上，一面緊靠在光滑的墻壁上，在槽口正上方某處有一質量為m的小球，由靜止釋放，落下后可沿光滑的球面滑下．試問：
（1）若小球在運動過程中恰好能到達右端最高點，則h應取多少？
（2）小球第二次到達最低點B點的速度是多少？
（3）若小球第一次到達B點到第二次到達B點所經過的時間已知為t，則小球第二次到達B點時，凹槽距墻壁有多遠？

Answer 1

分析：（1）小球從下落到運動到B點的過程，凹槽P不動，小球的機械能守恒；小球從B運動到C的過程中，凹槽P向右運動，小球與凹槽P組成的系統水平方向不受外力，水平方向的動量守恒，只有重力做功，系統的機械能守恒．故先根據機械能守恒定律求出小球滑到B點時的速度，再對系統，根據水平方向動量守恒和機械能守恒列式，求解h；
（2）根據系統水平方向動量守恒和機械能守恒列式，求解小球第二次到達最低點B點的速度；
（3）取整體研究，整體的質心向右做勻速直線運動，速度大小等于小球到達最高點時共同速度，即可由S=vt求解小球第二次到達B點時凹槽距墻壁的距離．

解答：解：（1）設小球第一次到B點速度為v₁₀，到右側最高點時共同速度為V
小球從下落到運動到B點的過程，由機械能守恒定律得  mgh=

1

2

m

v

2 10

小球從B運動到C的過程中，系統機械能守恒，水平方向動量也守恒，則有 
  mgh=

1

2

(m+m)v2+mgR
   mv₁₀=2mV
聯立解得：h=2R，V=

v10

2

=

Rg

（2）設小球第二次到B點速度為v₁，凹槽的速度為v₂，則有
  mv₁₀=mv₁+mv₂
 

1

2

m

v

2 10

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

解得，v₁=0，v₂=v₁₀=2

gR

（3）取整體研究，整體的質心向右做勻速直線運動，速度大小為V=

gR

故小球第二次到達B點時凹槽距墻壁的距離S=Vt=t

gR

答：（1）若小球在運動過程中恰好能到達右端最高點，h應取2R；
（2）小球第二次到達最低點B點的速度是0；
（3）若小球第一次到達B點到第二次到達B點所經過的時間已知為t，則小球第二次到達B點時，凹槽距墻壁有t

gR

遠．

點評：本題一要正確選取研究對象，二判斷系統動量是否守恒關鍵是明確系統是否受到外力的作用，本題中凹槽P向右運動的過程中系統的總動量守恒，只是水平方向動量守恒．