Question

如圖所示，豎直平面內有范圍足夠大、水平向左的勻強電場，在虛線左側有垂直紙面向里水平的勻強磁場，磁場的磁感強度大小為B．一粗細均勻的絕緣軌道由兩段水平且足夠長的直桿PQ、MN和一半徑為R的半圓環MAP組成，固定在豎直平面內，半圓環與兩直桿的切點P、M恰好在磁場邊界線上，軌道的NMAP段光滑，PQ段粗糙，現有一質量為m、帶電荷量為+q的絕緣塑料小環套在桿MN上（環的內直徑比桿的直徑稍大），將小環從M點右側距離x₀=4R的D點由靜止釋放，小環剛好能到達P點．試求：
（1）小環所受電場力的大�。�
（2）上述過程中小環第一次通過與O點等高的A點時半圓環對小環作用力的大�。�
（3）若小環與PQ間動摩擦因數為μ （設最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等），現將小環移至M點右側6R處由靜止釋放，求小環在整個運動過程中產生的熱量．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理，即可求解；
（2）根據動能定理，結合牛頓第二定律與洛倫茲力，即可求解；
（3）根據能量守恒定律，與動能定理相結合，即可求解；

解答：解：（1）小環剛好能到達P點，意味著小環到達P點時速度恰好為零．根據動能定理得：F-x₀=mg?2R=0
解得小環所受電場力F=0.5mg
（2）設小環第一次運動到A點時速度為v_A，根據動能定理得：
F（x₀+R）-mgR=

1

2

mv_A²
在A點小環受到的洛侖茲力f=qBv_A
根據牛頓第二定律得：F_N-f-F=

m v 2 A

R

解得：FN=3.5mg+qB

3gR

（3）若小環受到的滑動摩擦力f₀=μmg＜F，即μ＜0.5，分析可知小環經過多次往返最終到達P點時的速度為零．根據能的轉化和守恒定律，得：
F?6R=mg?2R+Q
解得：Q=mgR
若小環受到的滑動摩擦力f₀=μmg≥F，即μ≥0.5，則小環運動到P點后向右做勻減速運動，一直到靜止．
設小環從P點開始向右做勻減速運動的最大距離為s_m，
對整個過程應用動能定理得：F（6R-s_m）-mg?2R-μmg?s_m=0
小環在整個運動過程中產生的熱量為Q=μmgs_m
聯立解得：Q=

2μmgR

1+2μ

答：（1）小環所受電場力的大小0.5mg．
（2）上述過程中小環第一次通過與O點等高的A點時半圓環對小環作用力的大小：FN=3.5mg+qB

3gR

．
（3）若小環與PQ間動摩擦因數為μ （設最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等），現將小環移至M點右側6R處由靜止釋放，則小環在整個運動過程中產生的熱量：Q=

2μmgR

1+2μ

．

點評：考查動能定理、牛頓第二定律、能量守恒定律等規律的應用，知道洛倫茲力的表達式，掌握動能定理解題的步驟及做功的正負．