Question

如圖甲所示，水平直線MN下方有豎直向上的勻強電場，場強E=

π

10

×10⁴N/C．現將一重力不計、比荷

q

m

=10⁶C/kg的正電荷從電場中的O點由靜止釋放，經過t₀=1×10^-5s后，通過MN上的P點進入其上方的勻強磁場．磁場方向垂直于紙面向外，以電荷第一次通過MN時開始計時，磁感應強度按圖乙所示規律周期性變化．
（1）求電荷進入磁場時的速度v₀；
（2）求圖乙中t=2×10^-5s時刻電荷與P點的距離；
（3）如果在P點右方d=105cm處有一垂直于MN的足夠大的擋板，求電荷從O點出發運動到擋板所需的時間．

Answer 1

（1）電荷在電場中做勻加速直線運動，設其在電場中運動的時間為t₁，有：
v₀=at₀ Eq=ma
解得：v0=

qE

m

?t0=

q

m

?Et0=106×

π

10

×104×1×10-5m/s=π×10⁴m/s；
（2）當磁場垂直紙面向外B1=

π

20

T時，電荷運動的半徑：r1=

mv0

qB1

代入數據得：r₁=0.2m
周期T1=

2πm

qB1

代入數據得：T1=4×10-5s
當磁場B2=

π

10

時，電荷運動的半徑：r2=

mv0

qB2

代入數據得：r₂=0.1m
周期T2=

2πm

qB2

代入數據得：T2=2×10-5s
故電荷從t=0時刻開始做周期性運動，其運動軌跡如圖1所示．

t=2×10^-5s時刻電荷先沿大圓軌跡運動四分之一周期，然后再沿小圓弧運動半個周期，與P點的水平距離：△d=r₁=0.2m；
（3）電荷從第一次通過MN開始，其運動的周期為：T=6×10^-5 s，每一個周期內沿PN的方向運動的距離為0.4=40cm，故電荷到達擋板前運動的完整的周期數為2個，沿PN方向運動的距離為80cm，最后25cm的距離如圖2所示，設正電荷以α角撞擊到擋板上，有：
r₁+r₂cosα=0.25m
代入數據解得：cosα=0.5，即α=60°
故電荷運動的總時間：t總=t0+2T+

1

4

T1+

30°

360°

?T2
代入數據解得：t總=1.42×10-5s
答：（1）電荷進入磁場時的速度為π×10⁴m/s．（2）t=2×10^-5s時刻電荷與P點的水平距離為20cm．（3）電荷從O點出發運動到擋板所需的時間為1.42×10^-4s．