Question

（2006?鹽城二模）豎直平面內有一光滑圓弧形軌道，O為最低點，A、B兩點距0點的高度分別為h和4h，現從A點釋放一質量為M的大物體，且每隔適當的時間從B點釋放一質量為m的小物體，它們和大物體碰撞后都結為一體，已知M=100m，
（1）若每當大物體向右運動到O點時，都有一個小物體與之碰撞，問碰撞多少次后大物體的速度最小？
（2）若大物體第一次向右運動到0點時，和小物體碰撞，以后每當大物體向左運動到0點時，才與一個小物體碰撞，問共碰撞多少次后大物體能越過A點？
（3）若每當大物體運動到0點時，都有一個小物體與之碰撞，問碰撞50次后，大物體運動的最大高度為h的幾分之幾？

Answer 1

分析：（1）軌道光滑，物體下滑過程中，機械能守恒，由機械能守恒定律列式得到大、小物體通過O點的速度大小，大物體的速度最小為零，對于碰撞過程，根據動量守恒列式求解即可；
（2）運用數學上歸納法：先根據動量守恒定律求出第一次碰撞后的共同速度，再求出碰撞k次后共同速度，即可求得碰撞次數；
（3）根據動量守恒定律分別求出第1次、第2次、第3次…碰撞后共同速度，聯立得到碰撞50次后，求得大物體的速度，再由機械能守恒求最大高度．

解答：解：（1）設A、B在O點的速度大小分別為v_A、v_B．
由機械能守恒定律得：Mgh=

1

2

M

v

2 A

，mg?4h=

1

2

m

v

2 B

解得，v_A=

2gh

，v_B=2

2gh

設碰撞n次后大物體的速度最小，最小速度為零，則根據動量守恒得：
  Mv_A-nmv_B=（M+m）v
當v=0時，Mv_A-nmv_B=0，則得n=50次
（2）當大物體的速度達到v_A時，恰好能越過A點．
 第一次碰撞：Mv_A-mv_B=（M+m）v
 設再碰撞k次：（M+m）v+kmv_B=（M+m+km）v_A，
聯立解得 k=3
故共碰4次．
（3）第1次碰撞：Mv_A-mv_B=（M+m）v₁，
    第2次碰撞：（M+m）v₁+mv_B=（M+2m）v₂，
    第3次碰撞：（M+m）v₂-mv_B=（M+3m）v₃，
    第4次碰撞：（M+m）v₃+mv_B=（M+4m）v₄，
   …
第50次碰撞：（M+49m）v₄₉+mv_B=（M+50m）v₅₀，
聯立解得，v₅₀=

2

3

vA
根據機械能守恒得：Mgh′=

1

2

m(v50)2
解得h′=

4

9

h
答：
（1）若每當大物體向右運動到O點時，都有一個小物體與之碰撞，碰撞50次后大物體的速度最小．
（2）若大物體第一次向右運動到0點時，和小物體碰撞，以后每當大物體向左運動到0點時，才與一個小物體碰撞，共碰撞4次后大物體能越過A點．
（3）若每當大物體運動到0點時，都有一個小物體與之碰撞，碰撞50次后，大物體運動的最大高度為h的

4

9

．

點評：本題是物理上數列的類型，采用歸納法分析，運用動量守恒列式進行求解．