Question

如圖，足夠長(zhǎng)平行金屬導(dǎo)軌內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，金屬桿ab與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，導(dǎo)軌右端通過(guò)電阻與平行金屬板AB連接．已知導(dǎo)軌相距為L(zhǎng)；磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；R₁、R₂和ab桿的電阻值均為r，其余電阻不計(jì)；板間距為d、板長(zhǎng)為4d；重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．
如果ab桿以某一速度向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿兩板中心線水平射入質(zhì)量為m、帶電量為+q的微粒恰能沿兩板中心線射出；如果ab桿以同樣大小的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，該微粒將射到B板距左端為d的C處．
（1）求ab桿勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小v；
（2）求微粒水平射入兩板時(shí)的速度大小v₀；
（3）如果以v₀沿中心線射入的上述微粒能夠從兩板間射出，試討論ab桿向左勻速運(yùn)動(dòng)的速度范圍．

Answer 1

（1）帶電量為+q的微粒恰能沿兩板中心線射出，此時(shí)電場(chǎng)力與重力平衡，設(shè)場(chǎng)強(qiáng)為E，則：
mg=Eq①
此時(shí)平行板間電壓為；
U=Ed②
導(dǎo)體棒感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E_感=BLv
由電路歐姆定律得：U=

1

3

E_感③
聯(lián)立以上可得：v=

3mgd

BLq

④
（2）ab桿以同樣大小的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，平行板間帶電粒子所受合力方向向下，大小為；
F=Eq+mg=2mg⑤
粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，可知加速度為：
a=2g⑥
打到板的時(shí)間為t，則：

d

2

=

1

2

at^2⑦
d=v₀t⑧
聯(lián)立解得：v₀=

2gd

⑨
（3）ab桿向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力與重力方向相反，棒速度較小則向下偏，較大則向上偏，粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，若粒子恰好射出電場(chǎng)，在水平位移應(yīng)為L(zhǎng)=4d時(shí)間內(nèi)，同時(shí)豎直位移恰為

d

2

，
故粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
4d=v₀t₁⑩
若向下偏，最小加速度大小為a₁，則豎直方向位移為：

1

2

a₁

t

21

=

d

2

（11）
⑦⑧⑩（11）得：a1=

a

4

=

g

8

（12）
設(shè)此時(shí)導(dǎo)體棒速度最小為v_min，應(yīng)有：
a₁=

mg- BLvmin 3 d q

m

=g-

BLvminq

3md

（13）
解得v_min=

21mg

32Bq

，
若導(dǎo)體棒速度最大為v_max，此時(shí)粒子向上偏轉(zhuǎn)，應(yīng)有：
a₁=

a

′1

=

BLvmax 3 d q-mg

m

=

BLvmaxq

3dm

-g
解得：v_max=

27mg

32Bq

ab桿向左勻速運(yùn)動(dòng)的速度范圍為

21mg

32Bq

＜v＜

27mg

32Bq

答：（1）ab桿勻速運(yùn)動(dòng)的速度為

3mgd

BLq

（2）微粒水平射入兩板時(shí)的速度

2gd

（3）ab桿向左勻速運(yùn)動(dòng)的速度范圍為

21mg

32Bq

＜v＜

27mg

32Bq