Question

如圖所示，一塊質量為M、長為l的勻質板放在很長的水平桌面上，板的左端有一質量為m的物塊，物塊上連接一根很長的細繩，細繩跨過位于桌面邊緣的定滑輪并與桌面平行，某人以恒定的速度v向下拉繩，物塊最多只能到達板的中點，且此時板的右端距離桌邊定滑輪足夠遠．求：
（1）若板與桌面間光滑，物塊與板的動摩擦因數及物塊剛到達板的中點時板的位移．
（2）若板與桌面間有摩擦，為使物塊能到達板右端，板與桌面的動摩擦因數的范圍．

Answer 1

分析：（1）板與物塊都向右做初速度為零的勻加速運動，當兩者速度相等時，木塊與板相對靜止，由牛頓第二定律與運動學公式分析答題．
（2）對板與物塊進行受力分析，由牛頓第二定律求出 加速度，由運動學公式求出位移，然后根據兩者間位移的幾何關系分析答題．

解答：解：（1）板在摩擦力作用下向右做勻加速運動直至與物塊速度相同，此時物塊剛到達板的中點，設木板加速度為a₁，運動時間為t₁，
對木板有 μ₁mg=Ma、v=a₁t₁
則t₁=

Mv

μ1mg

設在此過程中物塊前進位移為s₁，板前進位移為s₂，則 s₁=vt₁、s₂=

v

2

 t₁
又因為s₁-s₂=

l

2

，
由以上幾式可得
物塊與板間的動摩擦因數μ₁=

Mv2

mgl

、板的位移s₂=

l

2

．
（2）設板與桌面間的動摩擦因數為μ₂，物塊在板上滑行的時間為t₂，木板的加速度為a₂，
對板有 μ₁mg-μ₂（m+M） g=Ma₂，且v=a₂t₂ 
解得t₂=

Mv

μ1mg-μ2(M+m)g

又設物塊從板的左端運動到右端的時間為t₃，則vt₃-

v

2

t₃=l，t₃=

2l

v

為了使物塊能到達板的右端，必須滿足 t₂≥t₃
即

Mv

μ1mg-μ2(M+m)g

≥

2l

v

，則μ₂≥

Mv2

2(M+m)gl

所以為了使物塊能到達板的右端，板與桌面間的摩擦因數μ₂≥

Mv2

2(M+m)gl

答：（1）若板與桌面間光滑，物塊與板的動摩擦因數為

Mv2

mgl

，物塊剛到達板的中點時板的位移為

l

2

．
（2）若板與桌面間有摩擦，為使物塊能到達板右端，板與桌面的動摩擦因數的范圍為μ₂≥

Mv2

2(M+m)gl

．

點評：分析求出物體運動過程、應用牛頓第二定律、運動學公式、功的公式即可正確解題．