2009年寧德市普通高中畢業班質量檢查
數學（文科）試卷
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。本卷滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．考生作答時，將答案答在答題卡上。請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效。
3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳酸筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
4．保持答題卡卡面的清楚，不折疊、不破損，考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
參考公式：
錐體的體積公式：
，其中
為底面面積，
為高；
球的表面積、體積公式：
，
，其中
為球的半徑。
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 已知集合
，則
A.
B. 
C. 
D.
R
2. 為
虛數單位，則復數
在復平面內對應的點在
A. 第一象限 B.
第二象限 C.
第三象限 D.
第四象限
3. 已知命題
，則下列命題正確的是
A. 
B.
C.
D.
4. 已知一個算法的程序框圖如圖所示，當輸出的結果為0時，輸入的
的值為
A.
1 B.
5. 函數
的圖像大致是
6. 在平面直角坐標系中有四個點；
，若向
內隨機投擲一質點，則它落在
內的概率為
A.
B.
C.
D.
7. 不等式組
表示的平面區域的面積是
A.
B.
D.
2
8. 若拋物線
的焦點與雙曲線
的右焦點重合，則
的值為
A.
3 B.
D.
9. 已知
是不重合的平面，
是不重合的直線，則下列命題正確的是
A.
若
則
B.
若
則
C. 若
則
D.
若
，則
10. 設函數
的部分圖像如圖所示，則函數
的解析式為
A.
B. 
C. 
D. 
11. 函數
的零點個數為
A.
4 B.
12. 已知函數
，對于正實數
，有下列四個不等式：
①
；②
；③
；
④
。其中一定成立的不等式是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
第II卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填寫在答題卡的相應位置。
13. 直線
被圓
截得的弦長為
14. 某校為了解教師使用多媒體進行教學的情況，隨機抽取20名授課教師，調查了他們上學期使用多媒體進行教學的次數，結果如莖葉圖所示。據此可估計該校上學期教師使用多媒體進行教學的次數在
內的概率為
15. 設
的內角
所對的邊長分別為
，且
，則邊長
16. 定義在
上的函數表示的個位數，例如
。數列
中，
，當
時，
則
三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程演算步驟。
17. （本小題滿分12分）
已知向量
，函數
（I）
求函數的解析式；
（II）
求函數的最小正周期和最大值，并寫出使函數取最大值時的集合。
18. (本小題滿分12分)
一個多面體的直觀圖與三視圖如圖所示，
分別是
中點
（I） 求此多面體的體積；
（II）
求證：
19. (本大題滿分12分)
已知數列的首項為2，點
在函數
的圖像上
（I）
求數列的通項公式；
（II）
設數列的前
項之和為
，求
的值。
20. (本大題滿分12分)
為了解某校學生數學競賽的成績分布，從該校參加數學競賽的學生成績中抽取一個樣本，并分成5組，繪成頻率分布直方圖，從左到右各小組的小長方形的高之比為1：2：2：20：5，最右邊一組的頻數是20，請結合直方圖的信息，解答下列問題；
（I） 樣本容量是多少？
（II） 現用分層抽樣的方程在該樣本中抽取30個學生的成績作進一步調查，問成績在120分到150分的學生有幾個？
（III） 已知成績在120分到150分的學生中，至少有5個是男生，求成績在120分到150分的學生中，男生比女生多的概率。
21. (本大題滿分12分)
已知函數
（I）
若函數的圖像在點
處的切線與直線
平行，求實數
的值；
（II）
求函數的單調遞增區間。
22. (本大題滿分14分)
已知橢圓
的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為1，離心率
，直線
與橢圓交于不同的兩點
（I）
求橢圓的方程；
（II）
求線段
的垂直平分線在
軸上的截距的取值范圍；
（III）
試問：在軸上是否存在一個定點
，使
為定值?若存在，求出這個定點的坐標；若不存在，請說明理由。
2009年寧德市高三質檢查
說明：
一、本解答指出了每題要考察的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如
果考生的解法與本解法不同，可根據試題的主要考察內容比照評分標準指定相應的評分細
則。
二、對計算題，當考生的解答在某一部分解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程
度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答
有較嚴重的錯誤，就不再給分。
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。
一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分60分。
1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．D
二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題4分，滿分16分。
13．1 14．
15．5 16．8
三、解答題：本大題共6小題，滿分74分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。
17．本題主要考查平面向量的數量積，兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式，三角函數的圖象與性質等基礎知識；考查運算求解能力，滿分12分。
解：
（I）
………………………………………2分
即函數
的解析式為
?????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）
??????????????????????????????????????? 6分
所以函數最小正周期
???????????????????????????????????????????????????? 8分
當
即
時
取最大值
，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
使函數取最大值的
的集合為
???????????????????????????????? 12分
18．本題主要考查空間幾何體的直觀圖、三視圖，空間線面的位置關系等基礎知識；考察空間想象能力及推理論證能力，滿分12分。
解（I）由三視圖知這個多面體是一個水平放置的柱體，它的底面是邊長為
的正三角形，側棱垂直于底面且長為 2分
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
（Ⅱ）連結
四邊形
是平行四邊形，
過點
。
為的中點，………………………………………8分
又
是
的中點，
，
平面
平面
平面…………………………………………12分
19．本題主要考等差數列、數列求和等基礎知識：考查推理論證與運算求解能力；考查化歸與轉化思想，滿分12分。
解（I）點
在函數
的圖象上，
數列
是以首項為2公差為2的等差數列，???????????????????????????????????????? 2分
?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）
????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
，????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
???????????????????????? 10分
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．本題主要考查概率與統計的基礎知識，考查運算求解能力及應用意識。
滿分12分。
解：（I）設樣本容量為
，則
，所以
所以樣本的容量為120???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（Ⅱ）設成績在120分到150分的學生有個，
則
，所以
????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（Ⅲ）設成績在120分到150分的學生中，男生比女生多的事件記為A，男生數與女生書記為數對（
），則基本事件有：（5，15），（6，14），（7，13），（8，12），（9，11），
（10，10），（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），（17，3），
（18，2），（19，1），（20，0），共16對????????????????????????????????????????????????? 9分
而事件A包含的事件有：（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），
（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共10對。
所以
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
21．本題主要考查利用導數研究函數的性質，考查運算求解能力及數形結合思想。滿分12分。
解：（I）
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
依題意得
??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）
等價于
???????????????????????????????????????????????????? 6分
①當
時恒成立，
的單調遞增區間為
?????????????????????????????????????????????????????????? 8分
②當
時，由得
的單調遞增區間為
?????????????????????????????????????????????????????? 11分
綜上所述：當時的單調遞增區間為；
當時，的單調遞增區間為???????????????????????????????????????? 12分
22．本題主要考查直線與橢圓的位置關系等基礎知識；考查運算求解能力及化歸與轉化思想。滿分14分。
解：（I）設橢圓E的方程為
由已知得：
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
橢圓E的方程為
?????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）設
，線段
中點
的坐標為
，則：
由
得
化簡得：
……5分
直線
過點
而點在橢圓E內，
?????????????????????????????????????????????????????????? 6分
所以PQ中垂直
的方程為：
所以直線在
軸上的截距
??????????????????????????????????????? 8分
??????????????????????????????????????????????????????????? 9分
（Ⅲ）假設存在符號條件的點
，則由（Ⅱ）得：
????????????????????????????????????????????????? 10分
????????????????????????? 11分
所以
?????????????????????????????????????????? 12分
設
即
對于任意實數
，上式恒成立，
所以
????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
得
所以符合條件的點
存在，其坐標為
???????????????????????????????????????????? 14分
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