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1．下列關系中不是相關關系的是（    ）

（A）產品投入的廣告費與產品的銷售量        （B）數軸上的點與實數

（C）人的身高與體重的大小                  （D）一天中的時間與氣溫的高低

2．設，則的大小關系是（    ）

（A）      （B）     （C）      （D）

3．已知滿足：，，則BC的長（    ）

（A）2          （B）1         （C）1或2          （D）無解

4．下面框圖表示的程序所輸出的結果是（    ）

（A）3     （B）12     （C）60      （D）360

5．定義運算：，則的值是（     ）

（A）       （B）      （C）        （D）

6．在中，，如果不等式恒成立，則實數的取值范圍是（    ）

（A）    （B）      （C）      （D）

7．函數有且僅有一個正實數的零點，則實數的取值范圍是（    ）

（A）      （B）     （C）    （D）

8．已知實數滿足：（其中是虛數單位），若用表示數列的前項的和，則的最大值是（    ）

（A）16         （B）15       （C）14        （D）12

9．下列命題中：①函數的最小值是；②在中，若，則是等腰或直角三角形；③如果正實數滿足，則；④如果是可導函數，則是函數在處取到極值的必要不充分條件．其中正確的命題是（   ）

（A）①②③④     （B）①④       （C）②③④        （D）②③

10．設，定義，如果對，不等式

恒成立，則實數的取值范圍是（    ）

（A）       （B）       （C）      （D）

11．        ▲         ．

12．的展開式中項的系數為210，則實數的值為       ▲        ．

13．設，且，則的值是      ▲   （用表示）．

14．已知，且，則實數的值為      ▲     ．

15．已知定義在上的函數，滿足，且對任意的都有，則          ▲       ．

16．如果實數滿足條件：，則的最大值是   ▲      ．

17．在一個圓周上有間距不同的9個點，以這9個點為頂點作沒有公共頂點的3個三角形，則其不同的3個三角形的邊不相交的概率是       ▲      ．

18．（本小題滿分14分）已知函數，是的導函數．

（Ⅰ）求函數的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）若，求的值.

19．（本小題滿分14分）把一根長度為7的鐵絲截成3段．

（Ⅰ）如果三段的長度均為整數，求能構成三角形的概率；

（Ⅱ）如果把鐵絲截成2，2，3的三段放入一個盒子中，然后有放回地摸4次，設摸到長度為2的次數為，求與；

（Ⅲ）如果截成任意長度的三段，求能構成三角形的概率．

20．(本小題滿分14分）在中，滿足：，是的中點．

（I）若，求向量與向量的夾角的余弦值；

（II）若是線段上任意一點，且，求的最小值；

（Ⅲ）若點是邊上一點，且，           求的最小值．

21.（本小題滿分15分）已知函數，數列滿足：

．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）求證不等式：．

22.（本小題滿分15分）已知函數．

（Ⅰ）若函數與的圖象在公共點P處有相同的切線，求實數的值并求點P的坐標；

（Ⅱ）若函數與的圖象有兩個不同的交點M、N，求的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過線段MN的中點作軸的垂線分別與的圖像和的圖像交S、T點，以S為切點作的切線，以T為切點作的切線．是否存在實數使得，如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．

2008學年浙江省五校第一次聯考

數學（理）答案

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

C

D

D

C

B

A

C

D

11．2         12．           13．             14．4

15．            16．               17．

18．（Ⅰ）∵                                  2分

∴

                              5分

        ∴ 當時，

           最小正周期為                                7分

（Ⅱ）∵

∴                                  10分

∴ 

                                         14分

19． （Ⅰ）設構成三角形的事件為

基本事件數有4種情況：“1，1，5”；“1，2，4”；“1，3，3”；“2，2，3”

         其中能構成三角形的情況有2種情況：“1，3，3”；“2，2，3”

        則所求的概率是                                           4分

（Ⅱ）根據題意知隨機變量

      ∴

                                                 8分

（Ⅲ）設把鐵絲分成任意的三段，其中一段為，第二段為，則第三段為

      則                                                          10分

     如果要構成三角形，則必須滿足：

                                              12分

則所求的概率為                                       14分

20．（Ⅰ）設向量與向量的夾角為

        ∴

        令

       ∴                                            4分

（Ⅱ）∵，∴

設，則，而

∴

當且僅當時，的最小值是．                         9分

（Ⅲ）設

     ∵，，

   ∴ ，

  ∴

當且僅當時，．            14分

21．（Ⅰ）

      當時，，即是單調遞增函數；

      當時，，即是單調遞減函數；

     所以，即是極大值點，也是最大值點

    ，當時取到等號．          5分

（Ⅱ）由得

   方法1 

   即數列是等差數列，首項為，公差為

   ∴                                               10分

方法2利用函數不動點

方法3利用觀察、歸納、猜想、數學歸納法證明

（Ⅲ）

     又∵時，有

     令，則

∴

∴                                      15分

用數學歸納法證，酌情給分

22．（Ⅰ）設函數與的圖象的公共點，則有

                  ①

又在點P有共同的切線

∴代入①得

設

所以函數最多只有1個零點，觀察得是零點，

∴，此時                                                 5分

（Ⅱ）方法1 由

       令

       當時，，則單調遞增

      當時，，則單調遞減，且

     所以在處取到最大值，

      所以要使與有兩個不同的交點，則有                 10分

方法2 根據（Ⅰ）知當時，兩曲線切于點，此時變化的的對稱軸是，而是固定不動的，如果繼續讓對稱軸向右移動即，兩曲線有兩個不同的交點，當時，開口向下，只有一個交點，顯然不合，所以.

（Ⅲ）不妨設，且，則中點的坐標為

      以S為切點的切線的斜率

     以T為切點的切線的斜率

如果存在使得，即          ①

      而且有和

     如果將①的兩邊同乘得   

                        即

   設，則有

   令

∵，∴

因此在上單調遞增，故

所以不存在實數使得．                                                15分