2009年3月上海市浦東新區高三數學調研試卷
考生注意：
1. 本次測試有試題紙和答題紙，作答必須在答題紙上，寫在試題紙上的解答無效.
2. 本試卷共有20道試題，滿分150分．考試時間100分鐘.
一、填空題（本題滿分55分）本大題共有11題，要求在答題紙相應題序的空格內直接填寫結果，
每個空格填對得5分，否則一律得零分。
1．不等式
的解集為
。
2．若
，
，
，且
，則
。
3．根據右邊的框圖，通過所打印數列的遞推關系，可寫出這個數列的第3
項是 。
4．已知實數
和純虛數
滿足：
，（i為虛數單位），則
。
5．如果圓錐的側面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是 。
6．某賽車場的路線中有
四個維修站如圖所示．若維修站之間有路線直接聯結（不經過
其它維修站），則記為１；若沒有直接路線聯結，則記為0（
與，
與，
與，
與
記0），現用矩陣表示這些維修站間路線聯結情況為 。
7．一個圓錐和一個半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，
那么這個圓錐軸截面頂角的余弦值是 。
8．（文科）已知
,
，
，則向量
與
的夾角為
。
（理科）某計算機程序每運行一次都隨機出現一個二進制的三位數
，其中
的各位數字中，
，
出現0的概率為
，出現1的概率為
，記
，當該計算機程序運行一次時，隨機變量
的數學期望是
。
9．如圖，
，
與
的夾角為
，
與的夾角為
，
，
，
，若=
，則
=
。
10．半徑為1的球面上的四點、、、是正四面體的頂點，
則與兩點間的球面距離為
。
11（文）某幾何體的一條棱長為
，在該幾何體的正視圖和俯視圖中，這條棱的投影是長為
和
的線段，在該幾何體的側視圖中，這條棱的投影長為 。
11（理）設
是四面體，
是
的重心，
是
上一點，且
，若
，則
為
。
二、選擇題（本題滿分20分）本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把答題紙上相應題序內的正確結論代號涂黑，選對得 5分，否則一律得零分.
12．下列所給的四個命題中，不是真命題的為（ ）
兩個共軛復數的模相等
.
13．命題甲：實數
滿足
；命題乙甲：實數滿足
，則命題甲是命題乙的（ ）
充分不必要條件
必要不充分條件
充要條件
既不充分又不必要條件.
14（文）一個幾何體是由若干個相同的正方體組成的，其主視圖和左視圖如
圖所示，則組成這個幾何體的正方體的個數最多有 （ ）
12個
13個
14個
18個
（理）如圖，已知長方形的四個頂點
，一質點從
的中點
沿與夾角為
的的方向射到
邊上的點
后，依次反射到
和上的點
和
（入射角等于反射角），設的坐標為
，若
，則
的取值范圍是 （ ）
） 
15．一位同學對三元一次方程組
（其中實系數
不全為零）的解的情況進行研究后得到下列結論：
結論1：當
，且
時，方程組有無窮多解；
結論2：當，且
都不為零時，方程組有無窮多解；
結論3：當，且時，方程組無解。
但是上述結論均不正確。下面給出的方程組可以作為結論1、2和3的反例依次為（ ）
（1）
； （2）
； （3）
。
（1）（2）（3） （1）（3）（2） （2）（1）（3） （3）（2）（1）.
三、解答題（本題滿分75分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙的規定區域（對應的題號）內寫出必要的步驟。
16．（滿分12分）
在中，
所對的邊分別為
已知
，且
，求的面積。
17．（滿分16分）本題共有3小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分7分。
（文）已知
是拋物線
的準線與雙曲線
的兩條漸近線所圍成的三角形平面區域內（含邊界）的任意一點，求
的最大值。
（理）假設某射擊運動員的命中概率與距離的平方成反比。當他人在距離
（1）求該運動員在第二次和第三次命中目標的概率。
（2）求該運動員命中目標的概率．
.
18．（滿分16分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．
某地消費券近日在上海引起領券“熱潮”。甲、乙、丙三位市民顧客分別獲得一些景區門票的折扣消費券，數量如表1。已知這些景區原價和折扣價如表2（單位：元）。
數量
景區1
景區2
景區3
甲
0
2
2
乙
3
0
1
丙
4
1
0
門票
景區1
景區2
景區3
原價
60
90
120
折扣后價
40
60
80
表1 表2
（1）按照上述表格的行列次序分別寫出這三位市民獲得的折扣消費券數量矩陣
和三個景區的門票折扣后價格矩陣
；
（2）利用你所學的矩陣知識，計算三位市民各獲得多少元折扣？
（3）計算在對這3位市民在該次促消活動中，景區與原來相比共損失多少元？
19．（滿分16分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．
已知
若過定點
、以
(
)為法向量的直線
與過點
以
為法向量的直線
相交于動點
．
(1)求直線和的方程;
(2)求直線和的斜率之積
的值，并證明必存在兩個定點
使得
恒為定值；
(3)在（2）的條件下，若
是
上的兩個動點，且
，試問當
取最小值時，向量
與
是否平行，并說明理由。
20．（滿分18分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6，第3小題滿分8分。
個正數排成一個
行列的矩陣
，其中
（
）表示該數陣中位于第
行第
列的數，已知該數陣每一行的數成等差數列，每一列的數成公比為2的等比數列，且
，
。
（1）求
和；
（2）計算行列式
和
；
（3）設
，證明：當是3的倍數時，
能被21整除。
2008學年度浦東新區高三數學調研試卷
一、填空題
1. 
2.
3.156
4. -
5. 
6．
7．
8．（理）
（文）
9．0
10．
11．（理）
（文）
二、選擇題
12.C 13.B 14.(理)C （文）B 15.B
三、解答題
16. 【解】（1）由已知：
， （2分）
即
， （4分）
∴
，故
。
（6分）
（2）由
，得
， （8分）
∴
，
。 （10分）
故
。
（12分）
17.【解】
（理）設三次事件依次為
，命中率分別為
，
（1）令
，則
，∴
，
，
。 （6分）
（2）
。 （13分）
（文）拋物線
的準線是
，
（3分）
雙曲線
的兩條漸近線是
。 （6分）
三條線為成得三角形區域的頂點為
，
，
，（10分）
當
時，
。
（13分）
18.【解】（1）
，
。（4分）
（2）令
，
，
，（8分）
即三位市民各獲得140、100和110元折扣。（10分）
（3）
（元）。（16分）
19.【解】（1）直線
的法向量
，的方程：
，
即為
；…（2分）
直線
的法向量
，的方程：
，
即為
。 （4分）
（2）
。 （6分）
設點
的坐標為
，由
，得
。（8分）
由橢圓的定義的知存在兩個定點
，使得
恒為定值4。
此時兩個定點為橢圓的兩個焦點。（10分）
（3）設
，
，則
，
，
由
，得
。（12分）
；
當且僅當
或
時，
取最小值。（14分）
，故
與
平行。（16分）
20.【解】（1）由
，得
。由
，得第二行的公差
，
，∴
。（2分）
由，，得
，∴
。（4分）
（2）
；（6分）
。（10分）
（3）
，
， 兩式相減，得
，
。（12分）當
時，
。（13分）
①
時，
顯然能被21整除；（14分）
②假設
時，
能被21整除，當
時，
能被21整除。結論也成立。（17分）
由①、②可知，當
是3的倍數時，
能被21整除。（18分）
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