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1、【原創】（     ）

（A）     （B）     （C）    （D）

①本題的命題意圖：向量是新教材增加的內容之一，是實現數形結合的有力工具，向量的中心內容是數量積。考試說明對平面向量數量積的要求：1.掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算。2.能運用數量積表示兩個向量的夾角。

②本題的解題要點：本題考查了平面三角形的熱點“三心”問題。要求角C的大小，考慮同弧所對的圓心角與圓周角的倍角關系，故只需求對應的圓心角的大小，其中關鍵是將轉換與的夾角。而與的夾角通過數量積的運算得到。

解：由得

    兩邊平方，得

    又,所以＝0，所以＝

    從而角C為，故選（C）

2、【原創】小剛在對函數與函數的圖象比較時，得出以下幾個結論：

①這兩個函數在x=0處的導數值均為0；

②這兩個函數的導函數在都遞減;

③這兩個函數的導函數在都遞增。

   你認為小剛的結論正確的序號為（   ）。

A. (1)       B.(2)        C.(2)(3)     D.(1)(2)(3)

［答案及評分標準］：對①，

                   故①錯誤。

          對②導函數為二次函數，圖象在單調遞減；

               導函數，而cos2x 在是遞增的，故在上是遞減的，這樣②正確。

 同理③也正確，因此正確答案為 C .

［試題來源］： 原創

［命題意圖］： 了解函數單調性和導數的關系；能利用導數研究函數的單調性。

［解題要點］：本題的考查內容是函數導數及性質，難度稍難。對函數與函數的圖象，很多同學誤以為這兩個圖象是同種類型，是是壓縮到一個周期而已。事實上他們差別很大，這是設計第一問的目的。 ②③兩問是考查導函數的單調性，可能有老師會用二次求導來做，但不用二次導數，用常規方法來判斷單調性也簡單。按定義一步一步地做，關鍵是對照定義，易錯點是學生只根據與函數的圖象相似而主觀臆斷。

1、【改編】 在ABC中，∠C=90°，則cos²A+cos²B=1，用類比的方法猜想三棱堆的類似性質為：

在三棱堆A-BCD中，三個側面ACD，ABD，ABC兩兩垂直，且與底面所成的角分別為則    。

證明：如圖，作AH平面BCD于H，連BH并延長，交CD于F,連AF,

因為三個側面ACD，ABD，ABC兩兩垂直，易證AB平面ACD,

從而ABAF，BFCD, AFCD.中，AHBF,

由射影定理：AF²=FH×FB,因為,

則=

同理：,。所以，

  。

①本題的命題意圖： 通過類比，引導學生推廣數學命題，或通過類比，探求解題途徑，深化對知識的理解，對數學思想方法的掌握。通過類比，拓展學生的數學能力，提高學生的發現問題、分析問題和解決問題的能力，提高學生的實踐能力和創新精神。

②本題的解題要點：類比推理中一個重要類型是，平面幾何中的結論推廣到空間幾何：點   線；線     面；面    體 。所以 ，線線角     二面角，提煉出這樣一個模型，是本題關鍵。難點是射影定理的使用及面積轉換。

原題的出處：（2003年全國）在平面幾何中，有勾股定理：“設ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AC²+AB²=BC²”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則.

證明仿上：略

2、［試題正文] 已知點P是函數f(x)=圖像上異于原點的一點，則過點P的曲線f(x)的切線與曲線f(x)的公共點有                個.

［答案及評分標準］2個

［試題來源］原創

［命題意圖］根據“考試說明”中的導數的幾何意義要求為“理解導數的幾何意義”，于是，對于切線的概念必須有一個明確理解，特別是切線的定義與初中圓的切線的定義有較大的區別. 鑒于此，本題命制的關鍵點立足于“公共點”上. 本題屬中檔難度.

［解題要點］
關鍵點：本題應從常規的求曲線的切線方法中求解，就比較容易得到正確的答案. 解題如下：
設曲線上一點P，則在P點處的切線的斜率為：，根據直線的點斜式方程得到切線方程為：. 于是，切線與曲線的交點可由下列方程組求得：

整理得，(x-x₀)²(x+2x₀)=0，從而得到，x=x₀，或x=2x₀.
∵P不是原點，∴x₀≠0，于是，上述方程有兩個實數根，即切線與曲線有兩個公共點.
當然，本題可以從x→∞時，曲線的變化趨勢也能得到正確的答案，無論時x→+∞，還是x→-∞，其切線的斜率均在增大，曲線就變的越來越陡，從而總能使切線（變化率恒定）與曲線（變化率無限增加≥-4）相交.
難點：正如一般填空題的難點一樣，本題是一個小題卻要從“通性通法”處解決，一方面比較繁，另一方面不容易想到. 同時，用圖像解決還會有畫圖不準確的困難.
注意點或易錯點：容易錯誤地填上答案：1個或2個. 由于本題的函數是個三次函數，學生比較熟悉，許多學生會利用函數圖像的草圖，不容易考察到無限遠處的情況，如直線l₁與曲線的公共點情況不容易真實考慮。

[延伸]把正奇數數列1，3，5，7…中的數按上小下大、左小右大的原則排成如下的三角形數表：

設三角形數表中第m行的第一個數為a_m，

(I)試用m表示a_m；

(II)請判斷2009是該三角形數表中的第幾行第幾個數；

(III)已知函數f(x) ＝()ⁿ?（x＞0），若記三角形

數表中從上往下數第n行各數的和為b_n，求數列{f(b_n)}的前n項和S_n．

解：（I）第m行第一個數是2?；…………………3分

 (II)依題意，先求使得m是不等式≤2009的最大整數解，

由≤2007得≤0，

∵m ∈N^*，∴0m＜＝＝45.5, ∴m＝45，

于是，第45行第一個數是45²－45＋1＝1981，∴m＝，

所以，2009是45行的第15個數．……………………………………………………7分

 (III) ∵第n行第一個數是n²－n＋1,且有n個數，

若將n²－n＋1看成第n行第一個數，則第n行各數成公差為2的等差數列，

故b_n＝n(n²－n＋1)＋×2＝n³

∴f(b_n) ＝()ⁿ?＝n()ⁿ，……………………………………………………9分

故S_n＝＋2()²＋3()³＋…＋(n－1)()ⁿ－¹＋n()ⁿ,

∴S_n＝ ()²＋2()³＋3()⁴＋…＋(n－1)()ⁿ＋n()^n＋1，

兩式相減得：

S_n＝＋()²＋()³＋…＋()ⁿ－n()^n＋1……………………………………10分

    ＝，

∴S_n＝2－(n+2)()ⁿ．………………………………………………………………12分

［命題意圖］考試說明對數列的理解、掌握級別要求：1.理解等差數列、等比數列的概念。2.掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式。3.能利用等差、等比數列前n項和公式及其性質求一些特殊數列的和。所以等差數列，等比數列，及其體現的重要方法：倒序相加，錯位相減，裂項求和，疊加，累乘等，是常考查的重點。另外，數列與函數，數列與不等式，數列與數陣等的結合也是近幾年常考查的熱點。

［解題要點］求斜列二階等差數列1，3，5，7，……的通項公式，疊加，錯位相減等方法的靈活使用。

［試題來源］嘉興市2008～2009第一學期期末卷18題：

將全體正整數排成如下的三角形數陣：按照如圖的排列規律，

第n行（n>2）從左向右的第2個數為  n²-n+3  .

解析：設a₁=1,a₂=3,a₃=7,a₄=13,……,

       a₂-a₁=2   a₃-a₂=4   a₄-a₃=6 ……a_n-a_n-1=2n-2

 疊加得：a_n=n²-n+1  ,所以第n行（n>2）從左向右的第2個數為  n²-n+3   .