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例1．已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條對角線長為(    ).

(A)      (B)       (C)5      (D)6

分析及解：設長方體三條棱長分別為x,y,z,則依條件得：

 2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的對角線長為,因此需將對稱式寫成基本對稱式x+y+z及xy+yz+zx的組合形式,完成這種組合的常用手段是配方法.故=6²-11=25

∴  ,應選C.

例2．設F₁和F₂為雙曲線的兩個焦點,點P在雙曲線上且滿足∠F₁PF₂=90°,則ΔF₁PF₂的面積是(    ).               

(A)1      (B)    (C)2      (D)

分析及解：欲求     (1),而由已知能得到什么呢？

由∠F₁PF₂=90°,得       (2),

又根據雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=4     (3),那么(2)、(3)兩式與要求的三角形面積有何聯系呢？我們發現將(3)式完全平方,即可找到三個式子之間的關系.即,

故∴  ,∴  選(A).

注：配方法實現了“平方和”與“和的平方”的相互轉化.

例3．設雙曲線的中心是坐標原點,準線平行于x軸,離心率為,已知點P(0,5)到該雙曲線上的點的最近距離是2,求雙曲線方程.

分析及解：由題意可設雙曲線方程為,∵,∴a=2b,因此所求雙曲線方程可寫成：  (1),故只需求出a可求解.

設雙曲線上點Q的坐標為(x,y),則|PQ|=  (2),∵點Q(x,y)在雙曲線上,∴(x,y)滿足(1)式,代入(2)得|PQ|=  (3),此時|PQ|²表示為變量y的二次函數,利用配方法求出其最小值即可求解.

由(3)式有(y≥a或y≤-a).

二次曲線的對稱軸為y=4,而函數的定義域y≥a或y≤-a,因此,需對a≤4與a>4分類討論.

(1)當a≤4時,如圖(1)可知函數在y=4處取得最小值,

∴令,得a²=4

∴所求雙曲線方程為.

(2)當a>4時,如圖(2)可知函數在y=a處取得最小值,

∴令,得a²=49,

∴所求雙曲線方程為.

注：此題是利用待定系數法求解雙曲線方程的,其中利用配方法求解二次函數的最值問題,由于二次函數的定義域與參數a有關,因此需對字母a的取值分類討論,從而得到兩個解,同學們在解答數習題時應學會綜合運用數學思想方法解題.

例4．設f(x)是一次函數,且其在定義域內是增函數,又,試求f(x)的表達式.

分析及解：因為此函數的模式已知,故此題需用待定系數法求出函數表達式.

設一次函數y=f(x)=ax+b  (a>0),可知  ,

∴.

比較系數可知：   

解此方程組,得  ,b=2,∴所求f(x)=.

例5．如圖,已知在矩形ABCD中,C(4,4),點A在曲線(x>0,y>0)上移動,且AB,BC兩邊始終分別平行于x軸,y軸,求使矩形ABCD的面積為最小時點A的坐標.

分析及解：設A(x,y),如圖所示,則(4-x)(4-y)          (1)

此時S表示為變量x,y的函數,如何將S表示為一個變量x(或y)的函數呢？有的同學想到由已知得x²+y²=9,如何利用此條件？是從等式中解出x(或y),再代入(1)式,因為表達式有開方,顯然此方法不好.

如果我們將(1)式繼續變形,會得到S=16-4(x+y)+xy              (2)

這時我們可聯想到x²+y²與x+y、xy間的關系,即(x+y)²=9+2xy.

因此,只需設t=x+y,則xy=,代入(2)式得    S=16-4t+(3)S表示為變量t的二次函數,

∵0<x<3,0<y<3,∴3<t<,∴當t=4時,S_ABCD的最小值為.

此時

注：換元前后新舊變量的取值范圍是不同的,這樣才能防止出現不必要的錯誤.

例6．設方程x²+2kx+4=0的兩實根為x₁,x₂,若≥3,求k的取值范圍.

解：∵≥3,

以,代入整理得(k²-2)²≥5,又∵Δ=4k²-16≥0,

∴解得k∈(-)∪[,+].

例7．點P(x,y)在橢圓上移動時,求函數u=x²+2xy+4y²+x+2y的最大值.

解：∵點P(x,y)在橢圓上移動,   ∴可設    于是

          =

          =

    令,    ∵,∴|t|≤.

    于是u=,(|t|≤).

    當t=,即時,u有最大值.

    ∴θ=2kπ+(k∈Z)時,.

例8．過坐標原點的直線l與橢圓相交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的左焦點F,求直線l的傾斜角.

解：設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

     直線l的方程為y=kx,將它代入橢圓方

程整理得   (*)

由韋達定理,(1),(2)

    又F(1,0)且AF⊥BF,∴,    即  ,

    將,代入上式整理得  ,

    將(1)式,(2)式代入,解得  .    故直線l的傾斜角為或.

注：本題設交點坐標為參數,“設而不求”,以這些參數為橋梁建立斜率為k的方程求解.

例9．設集合A={}

(1)若A中有且只有一個元素,求實數a的取值集合B；

(2)當a∈B時,不等式x²-5x-6<a(x-4)恒成立,求x的取值范圍.

解：(1)令t=2^x,則t>0且方程化為t²-2t+a=0  (*),A中有且只有一個元素等價于方程(*)有且只有一個正根,再令f(t)=t²-2t+a,

則Δ=0  或即a=1或a≤0,從而B=(-,0]∪{1}.

(2)當a=1時,<x<3+,

當a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x²-5x-6),則當a≤0時不等式  恒成立,

即當a≤0時,g(a)>0恒成立,故  ≤4.

綜上討論,x的取值范圍是(,4).