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13．觀察下列式子：……，則可以猜想：當時，有___________________。

14．已知二項式的展開式中項的系數與的展開式中項的系數相等，則_________。

15．在三棱錐中，側棱、、兩兩垂直，、、的面積分別為、、，則三棱錐的外接球的體積為_____________。

16．某同學在研究函數時，分別給出下面幾個結論：

①等式在時恒成立； ②函數的值域為

③若則一定有；   ④函數在上有三個零點。

其中正確結論的序號有_______________（請將你認為正確的結論的序號都填上）

17．（本小題滿分12分）

    中，角、、所對的邊分別為、、 且

（1）求角的大小；

（2）若向量，向量，求的值。

18．（本小題滿分12分）

有編號為1，2，3，…，的個學生，入坐編號為1，2，3，…的個座位，每個學生規定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為，已知時，共有6種坐法。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求隨機變量的概率分布列和數學期望。

19．（本小題滿分12分）

如圖，在長方體

中點

在棱上移動，小螞蟻從點沿長方體的表

面爬到點，所爬的最短路程為。

（1）求證：

（2）求的長度：

（3）在線段上是否存在點，使得三面角的大小為。若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由。

20．（本小題滿分12分）

數列的各項均為正數，前項和為，對于，總有成等比數列，且

（1）求數列的通項公式：

（2）對任意給定的正整數，作數列，使，且…，求…的值；

21．（本小題滿分12分）

已知橢圓的上、下焦點分別為、，點為坐標平面內的動點，滿足

（1）求動點的軌跡的方程：

（2）過點作曲線的兩條切線，切點分別為、，求直線的方程：

（3）在直線上否存在點，過該點作曲線的兩條切線，切點分別為、，使得，若存，求出該點的坐標；若不存在，試說明理由。

22．（本小題滿分11分）

已知函數，且對于任意實數，恒有

（1）求函數的解析式；

（2）已知函數在區間上單調，求實數的取值范圍；

（3）函數有幾個零點？

數學試卷（理科）

1―5：B D B B C     6―10：D C A D A      11―12：D D

13．     14．     15．    16．①②③

17．解：（1）∵

∴………………………………2分

∴，∴或

∵，∴………………………………………………………………4分

（2）∵ ∴，即

又 ∴，即②…………6分

由①②可得 ∴ ……………………………………………8分

又，∴…………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）∵當時，有種坐法  ………………………………………………2分

∴，即

或（舍去）   ∴…………………………………4分

（Ⅱ）∵ 的可能取值是0，2，3，4，

又∵

……………………………………8分

∴的概率分布為：

0

2

3

4

                                                               ……………10分

則。      …………………………………12分

19．解：（1）證明：連結，由長方體的性質可知：平面，∴是在平面內的射影。又∵

∴

∴（三垂線定理）………………4分

（2）設，∵四邊形是正方形，

∴小螞蟻從點沿長方體的表面爬到點可能

有兩種途徑，如圖甲的最短路程為

如圖乙的最短路?為

∵

∴

∴  ∴…………9分

（3）假設存在，平面的法向量

設平面的法向量 則

∴………………………………………………………………………10分

由題意得：

解得：或（舍去）

即當點離為時，三面角的大小為。   …………………12分

20．解：（1）由知，

所以又，所以，

若為奇數，由得。

若為偶數，則由得，所以。

綜上所述，     ………………………………………………………4分

（2）由于……，，

將以上各式左右兩邊分別對應相乘得到：

（2）設的前項和為，當時， ∴；（8分）

時，，∴          （10分）

∴

∴                                                    （12分）

21．解：（1）由題意知，設。由余弦定理得

                     （2分）

又                                  （4分）

當且僅當時，取最大值，此時取最小值

令，∵，∴。

故所求點的軌跡方程為                                    （6分）

（2）設 則由可得，

故                                             （8分）

∵、在動點的軌跡上，故且消去得

，解得，又，

∴，得解。故的取值范圍是。          （12分）

22．解：（Ⅰ），令，得或。       （2分）

當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減，

而，∴當時，的值域是。 （4分）

（Ⅱ）設函數在上的值域是A，

∵若對任意,總存在，使，∴（6分）

.

①當時，，

∴函數在上單調遞減，

∵ ∴當時，不滿足；   （8分）

②當時，，

令，得或（舍去）。                            （9分）

（Ⅰ）當時，的變化如下表：

0

2

－

0

＋

0

∴， ∵，

∴，解得。                              （11分）

（Ⅱ）當時，

∴函數在（0，2）上單調遞減，

∵

∴當時，不滿足.                                   （13分）

綜上可知，實數的取值 范圍是.                                （14分）