云南省曲靖一中2009年高考沖刺卷（六）
理科數(shù)學
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題。每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只
1．復數(shù)
A． B． C． D．
2．設集合，且，且，則中的
元素個數(shù)是
A．9 B．11 C．12 D．14
3．若，則，，的大小關系是
A． B． C． D．
4．設變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為
A．5 B．4 C．1 D．
5．據(jù)統(tǒng)計，甲、乙兩人投籃的命中率分別為0．5、0．4，若甲、乙兩人各投一次，則有人
投中的概率是
A．0．2 B．0．3 C．0．7 D．0．8
6．展開式中含的系數(shù)是
A．6 B．12 C．24 D．48
7．設，則在上的最大值與最小值分別
是
A．與 B．1與 C．與 D．1與
8．某地區(qū)的經(jīng)濟在某段時間內(nèi)經(jīng)歷了高漲、保持、下滑、危機、蕭條、復蘇幾個階段，則
該地區(qū)的經(jīng)濟量隨時間的變化圖象大致可能是
9．已知雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線
的離心率為
A． B． C． D．
10．已知是正四面體，為之中點，則與所成的角為
A． B． C． D．
11．直線與直線互相垂直，、且，則
的最小值為
A．1 B．2 C．3 D．4
12．正四面體的外接球的體積為，則點到平面的距離為
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。共20分．把答案填在題中橫線上．
13．若則在上的投影是 ．
14．設，若在處連續(xù)，則 ．
15．、是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一動點，若為鈍角，則點
的橫坐標的范圍是 ．
16．設有四個條件：
① 平面與平面，所成的銳二面角相等；
② 直線平面平面；
③ 是異面直線，，且；
④ 平面內(nèi)距離為的兩條平行直線在平面內(nèi)的射影仍為兩條距離為的平行直線．
其中能推出的條件有 ．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
已知向量，且、、分別為的三邊，，所對的角．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面積．
18．（本小題滿分12分）
甲、乙等四名醫(yī)務志愿者被隨機地分到、、三個不同的地震災區(qū)服務，每個災區(qū)至少有一名志愿者．
（1）求甲、乙兩人同時參加災區(qū)服務的概率；
（2）求甲、乙兩人在同一個災區(qū)服務的概率；
（3）設隨機變量為這四名志愿者中參加災區(qū)服務的人數(shù)，求的分布列．
19．（本小題滿分12分）
如圖，直二面角中，四邊形是邊長為2的正方形，為CE上的點，且平面．
（1）求證平面；
（2）求二面角的大小．
20．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列、滿足，且，
（1）令，求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的通項公式及前項和公式．
21．（本小題滿分12分）
已知曲線上任意一點到橢圓（為正常數(shù)）右焦點的距離等于到定直線的距離．
（1）求曲線的方程；
（2）若是曲線上過點的直線，且，試證．
22．（本小題滿分12分）
設函數(shù)曲線在點處的切線方程為．
（1）求的解析式；
（2）證明：函數(shù)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；
（3）證明：曲線任一點的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．
1．A 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 7．D 8．C 9．D 10．B
1l．B 12．A
1．解析：，故選A．
2．解析：
，∴選C．
3．解析：是增函數(shù)
故，即
又
，故選B．
4．解析：如圖作出可行域，作直線，平移直線至位置，使其經(jīng)過點．此時目標函數(shù)取得最大值（注意與反號）
由得
，故選A
5．解析：設有人投中為事件，則，
故選C．
6．解析：展開式中能項；
由，得，故選C．
7．解析：
由得
，故選D．
8．略
9．解析：由得準線方程，雙曲線準線方程為
，解得，
，故選D．
10．解析：設正四面體的棱長為2，取中點為，連接，則為與所成的角，在中
，故選B．
11．解析：由題意，則，故選B．
12．解析：由已知，
為球的直徑
，又，
設，則
，
又由，解得
，故選A．
另法：將四面體置于正方休中．
正方體的對角線長為球的直徑，由此得，然后可得．
二、
13．解析：在上的投影是．
14．解析：，且．
15．解析：，
由余弦定理為鈍角
，即，
解得．
16．
解析：容易知命題①是錯的，命題②、③都是對的，對于命題④我們考查如圖所示的正方體，設棱長為，顯然與為平面內(nèi)兩條距離為的平行直線，它們在底面內(nèi)的射影、仍為兩條距離為的平行直線，但兩平面與卻是相交的．
三、
17．解：（1），
，
即，故．
（2）
由得．
設邊上的高為，則
．
18．（1）設甲、乙兩人同時參加災區(qū)服務為事件，則．
（2）記甲、乙兩人同時參加同一災區(qū)服務為事件，那么．
（3）隨機變量可能取得值為1，2，事件“”是指有兩人同時參加災區(qū)服務，則，所以．
分布列是
1
2
19．解：（1）平面
∵二面角為直二面角，且，
平面 平面．
（2）（法一）連接與高交于，連接是邊長為2的正方形， ，
二平面，由三垂線定理逆定理得
是二面角的平面角
由（1）平面，
．
在中，
∴在中，
故二面角等于．
（2）（法二）利用向量法，如圖以之中點為坐標原點建立空間坐標系，則
，
設平面的法向量分別為，則由
得，而平面的一個法向理
故所求二面角等于．
20．解：（1）由題設，即
易知是首項為、公差為2的等差數(shù)列，
∴通項公式為，
（2）由題設，，得是以公比為的等比數(shù)列．
由得．
21．解：（1）由題意，由拋物線定義可求得曲線的方程為．
（2）證明：設、的坐標分別為
若直線有斜率時，其坐標滿足下列方程組：
，
若沒有斜率時，方程為．
又．
；又，
．
22．（1）解：，于是，
解得或
因，故．
（2）證明：已知函數(shù)都是奇函數(shù)．
所以函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形，而．
可知．函數(shù)的圖象按向量平移，即得到函數(shù)的圖象，故函數(shù)的圖象是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形，
（3）證明；在曲線上作取一點，
由知，過此點的切線方程為
．
令，得，切線與直線交點為．
令，得切線與直線交點為，直線與直線與直線的交點為（1，1）．
從而所圍三角形的面積為
所以，圍成三角形的面積為定值2．
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