甘肅省張掖二中2008―2009年高三月考數學試卷（2008年9月）
命題人：張紅生
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分�？荚嚂r間120分鐘。
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、復數
的值是 （ ）
A．0 B．
D．
2、設全集
{1，2，3，4，5，7}，集合
{1，3，5，7}，集合
{3，5}，則 （ ）
A．
B．
C．
D．
3、在平面直角坐標系中，不等式組
表示的平面區域的面積是（ ）
(A)
(B)4
(C) 
(D)2
4．一個容量為20的樣本，數據的分組及各組的頻數如下：
分組
(0,10]
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
(60,70]
頻數
1
3
2
3
4
5
2
則樣本在區間(10,50]上的頻率為（ ）
A．0．5
B．0．
5、已知直線m、n平面
、
，給出下列命題： ①若m
,m,則//； ②若m//,m//,則//； ③若m,m//,則；④若m、n為異面直線，則一定存在過m的平面與n垂直。其中正確的命題是（ ）
A、②③
B、①③ C、②④ D③④
6、若可導函數
的導函數
的圖像如圖所示，則是
A．常值函數 B．一次函數
C．二次函數 D．反比例函數
7、已知
，則
的值為
( )
A．
B．
C．
D．
8、某學校舉行的數學競賽中,全體參賽學生的成績近似服從正態分布
，已知成績在
分以上(含分)的學生有
名,則此次競賽的學生總人數約( )人.
(參考數據：
，結果四舍五入)
A.
B.
C.
D.
9、函數
在
處連續,則
的值為( ).
A.
B.
C.
D.
10、雙曲線
的左、右焦點分別為
、
，過焦點且垂直于
軸的弦為
，若
，則雙曲線的離心率為
（ ）
A．
B．
C．
D．
11、用6種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區域分開，允許同一色涂不同的區域，但相鄰的區域不能涂同一色，則不同的涂法共有 （ ）
A．400種 B．460種
C．480種 D．496種
12、如圖，設點O在△ABC內部，且有
，則△ABC的面積與△OAC的面積的比為（ ）
A.2
B
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。
13、
展開式中
項系數是 。
14、若方程
的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，則實數
的取值范圍是
15、
。
16、下列命題
①若
,則
②若正實數m和n滿足
,則
③“a>b”是“a2>b
④“
”是“
”的充分條件.
其中真命題的序號是
三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。3
17．（本小題滿分10分）
設向量
＝(sinx，cosx)，
＝(cosx，cosx)，x∈R，函數f(x)＝?(＋)。
（Ⅰ）求函數f(x)的最大值與最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥
成立的x的取值的集合。
18． (本小題滿分12分)
甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，其中甲袋裝有1個紅球，4個白球；乙袋裝
有2個紅球，3個白球。現從甲、乙兩袋中各任取2個球。
(I)用
表示取到的4個球中紅球的個數，求的分布列及的數學期望；
(II)求取到的4個球中至少有2個紅球的概率。
19．（本小題滿分12分）
如圖,
在直三棱柱
中，
，
,
，
，點
是
的中點，
（1）求證：
；
（2）求證：
。
（3）求二面角
的正切值。
20．(本小題滿分12分）
在
上為增函數，在[0，2]上為減函數，又方程
三個根為α，2，β 
（1）求c；
（2）比較
與2的大小；
（3）求|α－β|的范圍
21．（本小題滿分12分）
已知函數
（1）求
的值；
（2）數列{an}滿足
數列{an}
是等差數列嗎？請給予證明；
（3）
，試比較Tn與Sn的大小.
22．（本小題滿分12分）如圖所示，已知圓
為圓上一動點，點
在
上，點
在
上，且滿足
軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）若過定點
的直線交曲線于不同的兩點
、
（點在點
、之間），且滿足
，求
的取值范圍.
一：選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
B
B
B
B
D
B
D
C
C
A
二、填空題：
13、0
14、
15、 
16、①②
三、解答題：
17、（Ⅰ）∵
∴
的最大值為
，最小正周期是
�！�6分
注：得出表達式的簡化形式得4分，最大值、周期各得1分。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
即
成立的
的取值集合是
………10分
注：正確寫出正弦的單調增區間2分，答案正確2分。
18、解：（Ⅰ）
， 
， 
隨機變量
的分布列為
0
1
2
3
P
數學期望
………………………………………8分
注：每個概率算對得1分，分布列2分，期望2分。
(II)所求的概率
…………12分
注：知道概率加法公式得2分，結果正確得2分。
19、(本題滿分12分)
證明：（1）在直三棱柱
，
∵底面三邊長
，
，
∴ 
，
--------------------------------1分
又直三棱柱
中 
，
且
∴
---------------------------------3分
而
∴
；
---------------------------------4分
（2）設
與
的交點為
，連結
，---------------------5分
∵D是AB的中點，E是BC1的中點，
∴ 
，
----------------------------7分
∵ 
，
，
∴
.
----------------------------8分
（3）過點C作CF⊥AB于F，連接C
由已知C1C垂直平面ABC，則∠C1FC為二面角
的平面角 ----------9分
在Rt△ABC中，
，
,
,則
----------10分
又
∴ 
----------11分
∴二面角的正切值為
---------- 12分
（另：可以建立空間直角坐標系用向量方法完成，酌情給分，過程略）
20、解（1）
∵
在
增函數，（0，2）為減函數
………………………………………………2分
（2）
， …………………
4分
5分
……………………7分
（3）
，
……………………………………………………………………12分
21、 解：(1)f(x)對任意
2分
令
4分
（2）解：數列{an}是等差數列 f(x)對任意x∈R都有
則令
5分
∴{an}是等差數列
8分
（3）解：由（2）有
9分
∴Tn≤Sn 該題也可用數學歸納法做。 12分
22、解：(1)∵
∴線段NP是AM的垂直平分線， 2分
∴
3分
∵
∴點N的軌跡是以點C、A為焦點的橢圓； 4分
∴點N的軌跡E的方程是
5分
（2）當直線的斜率不存在時，
，
，∴
=
；
6分
當直線的斜率存在時，設其方程為
,
,△
,
7分
設G(x1,y1),H(x2,y2)
,
,∵
,∴
8分
,
,
9分
,
,
,
10分
，
∵點
在點
、
之間 ， ∴<1
11分
∴的取值范圍是[
）。
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