天津市紅橋區2009年高考一模
高三數學（理）
本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上。
2．第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。
3．考試結束后，監考人員將本試卷和答題卡一并收回。
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互獨立，那么
如果事件A在一次實驗中發生的概率是P，那么
次獨立重復試驗中恰好發生
次的概率
球的表面積公式：
：球的體積公式：
，其中R表示球的半徑。
錐體體積公式：
；柱體體積公式：
，其中
是底面積，
是幾何體的高。
第I卷（共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知復數
滿足
，則等于
A．
B．
C．
D．
2．經過拋物線
的焦點，且方向向量為
的直線
的方程是
A．
B．
C．
D．
3．函數
圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為1，則正數
的值等于
A．1
B．
C．
D．
4．若向量
與
的夾角為120°，且
，則有
A．
B．
C．
D．
5．右圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該
幾何體的體積是
A．
B．
C．
D．
6．設等比數列
的公比為
，前
項和
，若
，，
成等差數列，則公比 為
A．
B．
或
C．或
D．
7．設函數
若方程
有三個不同的實數解，則
的取值范圍是
A．
或
B．
C．
D．
8．現從甲、乙、丙等6名學生中安排4人參加4×100
接力賽跑。第一棒只能從甲、乙兩人中安排1人，第四棒只能從甲、丙兩人中安排1人，則不同的安排方案共有
A．24種 B．36種 C．48種 D．72種
A．
B．
C．
D．
10．定義域為
的函數
對任意
都有
，且其導函數
滿足
，則當
時，有
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共100分）
注意事項：
1．答第Ⅱ卷前，考生務必將密封線內的項目填寫清楚。
2．第Ⅱ卷用藍、黑色墨水的鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上。
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分。把答案填在題中橫線上。
11．在
中，
，
，其面積
，則邊
__________。
12．函數
與軸，直線
圍成的圖形的面積是_______________。
13．已知、
滿足約束條件
，則
的最大值為_____________。
14．如圖，
是⊙
的直徑，
是延長線上的一點。
過作⊙的切線，切點為
，
若
，則⊙的直徑
____________。
15．直線
（
為參數）被圓
所截得的弦長為_________。
16．觀察下表：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
…………
則第__________行的各數之和等于
。
三、解答題：本大題共6小題，共76分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
已知點
，其中為坐標原點。若
（I）求的單調遞增區間；
（Ⅱ）當
時，求函數的最值，并求出取得最值時的的取值。
18．（本小題滿分12分）
甲乙兩名射手互不影響地進行射擊訓練，根據以往的數據統計，他們設計成績的分布列如下：
射手甲
射手乙
環數
8
9
10
環數
8
9
10
概率
概率
（I）若甲射手共有5發子彈，一旦命中10環就停止射擊，求他剩余3顆子彈的概率；
（Ⅱ）若甲乙兩射手各射擊兩次，求四次射擊中恰有三次命中10環的概率；
（Ⅲ）若兩個射手各射擊1次，記所得的環數之和為
，求的分布列和期望。
19．（本小題滿分12分）
如圖，
垂直于矩形
所在的平面，
，
，
、
分別是、
的中點
（I）求證：
平面
；
（Ⅱ）求證：平面
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小；
20．（本小題滿分12分）
已知函數
，
（I）令
，求函數在
處的切線方程；
（Ⅱ）若在
上單調遞增，求
的取值范圍。
21．（本小題滿分14分）
已知
，若動點滿足
（I）求動點的軌跡
的方程；
（Ⅱ）設過點
的直線交軌跡于
、
兩點，若
，求直線的方程。
22．（本小題滿分14分）
已知
定義在
上的單調函數，當
時，
，且對任意的實數、
，有
設數列滿足
，且
（I）求通項公式
的表達式：
（Ⅱ）令
，試比較與
的大小，并加以證明。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
D
C
A
C
B
A
C
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分。把答案填在題中橫線上。
11．13 12．
13．2 14．4
15．
16．1005
三、解答題：本大題共6小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
解（I）
（Ⅱ）由
得
，
18．（本小題滿分12分）
解（I）記事件A；射手甲剩下3顆子彈，
（Ⅱ）記事件
甲命中1次10環，乙命中兩次10環，事件
；甲命中2次10環，乙命中1次10環，則四次射擊中恰有三次命中10環為事件
（Ⅲ）
的取值分別為16，17，18，19，20，
19．（本小題滿分12分）
解法一：
（I）設
為
的中點，連結
，
為
的中點，
為
的中點，
==
==
==
（Ⅱ）
（Ⅲ）過點
向
作垂線，垂足為
，連結
，
解法二：
分別以
所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，
（I）
（Ⅱ）設平面
的一個法向量為
（Ⅲ）平面
的一個法向量為
20．（本小題滿分12分）
（1）由
切線的斜率
切點坐標（2，5+
）
所求切線方程為
（2）若函數為
上單調增函數，
則
在上恒成立，即不等式
在上恒成立
也即
在上恒成立。
令
上述問題等價于
而
為在
上的減函數，
則
于是
為所求
21．（本小題滿分14分）
解（I）設
（Ⅱ）（1）當直線
的斜率不存在時，方程為
（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為
，
設
，
，得
22．（本小題滿分14分）
解（I）由題意，令
（Ⅱ）
（1）當
時，
成立：
（2）假設當
時命題成立，即
當
時，
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