《新課標》必修Ⅰ復習 第八講 函數與方程
一．課標要求：
1．結合二次函數的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系；
2．根據具體函數的圖像，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。
二．命題走向
1．方程的根與函數的零點
（1）函數零點
概念：對于函數
，把使
成立的實數
叫做函數的零點。
函數零點的意義：函數
的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數根
函數的圖象與軸有交點函數有零點。
二次函數
的零點：
１）△＞０，方程
有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點；
２）△＝０，方程有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點；
３）△＜０，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點。
零點存在性定理：如果函數在區間
上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有
，那么函數在區間
內有零點。既存在
，使得
，這個
也就是方程的根。
2.二分法
二分法及步驟：
對于在區間
，
上連續不斷，且滿足
?
的函數，通過不斷地把函數
的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
給定精度
，用二分法求函數的零點近似值的步驟如下：
（1）確定區間，，驗證?，給定精度；
（2）求區間
，
的中點
；
（3）計算
：
①若=
，則就是函數的零點；
②若?<，則令
=（此時零點
）；
③若?<，則令
=（此時零點
）；
（4）判斷是否達到精度；
即若
，則得到零點值（或）；否則重復步驟2～4。
注：函數零點的性質
從“數”的角度看：即是使
的實數；
從“形”的角度看：即是函數的圖象與軸交點的橫坐標；
若函數的圖象在
處與軸相切，則零點
通常稱為不變號零點；
若函數的圖象在處與軸相交，則零點通常稱為變號零點。
注：用二分法求函數的變號零點：二分法的條件?表明用二分法求函數的近似零點都是指變號零點。
3．二次函數的基本性質
（1）二次函數的三種表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。
（2）當a>0，f(x)在區間［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0=
(p+q)。
若－
<p，則f(p)=m，f(q)=M；
若p≤－<x0，則f(－)=m，f(q)=M；
若x0≤－<q，則f(p)=M，f(－)=m；
若－≥q，則f(p)=M，f(q)=m。
（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件。
①方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小
a?f(r)<0；
②二次方程f(x)=0的兩根都大于r
③二次方程f(x)=0在區間(p，q)內有兩根
④二次方程f(x)=0在區間(p，q)內只有一根f(p)?f(q)<0，或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p，q)內成立。
【課前預習】
1. 關于的方程
有正根，則實數的取值范圍是
。
2.【07山東文11】．設函數
與
的圖象的交點為
，
則所在的區間是（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 已知定義域為
的函數
是偶函數，并且在
上為增函數。若
，則
的解集是
；
4. 函數
的對稱軸方程為
，則常數=
。
題型1：方程的根與函數零點
例1．判斷下列函數在給定區間上是否存在零點。
四．典例解析
（1）
（2）
（3）
例2．（1）方程lgx+x=3的解所在區間為（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)
（2）設a為常數，試討論方程
的實根的個數。
題型2：零點存在性定理
例3．（2004廣東21）設函數
，其中常數
為整數。
（1）當為何值時，
；
（2）定理：若函數
在上連續，且
與
異號，則至少存在一點
，使得
試用上述定理證明：當整數
時，方程在
內有兩個實根。
例4．若函數在區間[a,b]上的圖象為連續不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（ ）
A．若
，不存在實數使得；
B．若，存在且只存在一個實數使得；
C．若，有可能存在實數使得；
D．若，有可能不存在實數使得；
題型3：二分法的概念
例5．關于“二分法”求方程的近似解，說法正確的是（）
A．“二分法”求方程的近似解一定可將在[a,b]內的所有零點得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內的零點；
C．應用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]內有可能無零點；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]內的精確解；
例6．方程在[0，1]內的近似解，用“二分法”計算到
達到精確度要求。那么所取誤差限
是（ ）
A．0.05 B．
題型4：應用“二分法”求函數的零點和方程的近似解
例7．借助計算器，用二分法求出
在區間（1，2）內的近似解（精確到0.1）。
例8．借助計算器或計算機用二分法求方程
的近似解（精確到
）。
題型5：一元二次方程的根與一元二次函數的零點
例9．（1）已知
是方程
的兩個根，且
，
求的取值范圍。
（2）已知關于的方程
的一根分布在區間（-2，0）內，另一根分布在區間（1，3）內，求實數的取值范圍。
例10．已知二次函數
，設方程
的兩個實數根為和
.
（1）如果
，設函數的對稱軸為，求證：
；
（2）如果
，
，求的取值范圍.
【課外作業】
1．若函數
有負值，則實數的取值范圍是
（
）
A.
B.
C.
D.
2．若
都是定義在實數集R上的函數，且方程
有實數解，則
不可能是
（
）
A.
B.
C.
D. 
3．設函數
，若
，則關于的方程的解的個數為
（
）
A．1
B
4．是定義在R上的以3為周期的奇函數，且
，則方程在區間（0，6）內解的個數的最小值是
（
）
A.2
B
5．函數
在[0，2]上
（
）
A.有三個零點 B.有兩個零點 C.有一個零點 D.沒有零點
五．思維總結
1．函數零點的求法：
①（代數法）求方程的實數根；
②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點。
2．解決二次函數的零點分布問題要善于結合圖像，從判別式、韋達定理、對稱軸、區間端點函數值的正負、二次函數圖像的開口方向等方面去考慮使結論成立的所有條件。函數與方程、不等式聯系密切，聯系的方法就是數形結合。
2008年7月
【課前預習】
答案: 1、
; 2、B.【試題分析】令
，可求得：
。易知函數
的零點所在區間為
。
3、
; 4、-4。
四．典例解析
題型1：方程的根與函數零點
例1． 分析：利用函數零點的存在性定理或圖像進行判斷。
解析：（1）方法一：
∴
故
。
方法二：
令
解得
，
所以函數。
（2）∵
，
∴
。
（3）∵
，
，
∴
，故
在
存在零點。
評析：函數的零點存在性問題常用的辦法有三種：一是定理；二是用方程；三是用圖像
例2． 解析：（1）方法一令
則根據選擇支可以求得
＜0；
＜0；
＞0.因為
＜0可得零點在(2，3)內選C
方法二：在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標
，顯然在區間(1，3)內，由此可排除A，D
至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應選C
（2）原方程等價于
即
構造函數
和
，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得：
①當
或
時，原方程有一解；
②當
時，原方程有兩解；
③當
或
時，原方程無解。
點評：圖象法求函數零點，考查學生的數形結合思想。本題是通過構造函數用數形結合法求方程lgx+x=3解所在的區間。數形結合，要在結合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數值，通過比較其大小進行判斷
題型2：零點存在性定理
例3．解析：（1）函數f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)連續，且
當x∈(－m,1－m)時,f ’（x）<0,f(x)為減函數,f(x)>f(1－m)
當x∈(1－m, +∞)時,f ’（x）>0,f(x)為增函數,f(x)>f(1－m)
根據函數極值判別方法，f(1－m)=1－m為極小值，而且
對x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m
故當整數m≤1時，f(x) ≥1－m≥0
(2)證明：由（I）知，當整數m>1時，f(1－m)=1-m<0,
函數f(x)=x－ln(x+m),在
上為連續減函數.
由所給定理知，存在唯一的
而當整數m>1時，
類似地，當整數m>1時，函數f(x)=x-ln(x+m),在
上為連續增函數且 f(1-m)與
異號，由所給定理知，存在唯一的
故當m>1時，方程f(x)=0在
內有兩個實根。
點評：本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區間的放縮和不等式的應用上。
例4． 解析：由零點存在性定理可知選項D不正確；對于選項B，可通過反例“
在區間
上滿足
，但其存在三個解
”推翻；同時選項A可通過反例“
在區間上滿足
，但其存在兩個解
”；選項D正確，見實例“
在區間上滿足，但其不存在實數解”。
點評：該問題詳細介紹了零點存在性定理的理論基礎。
題型3：二分法的概念
例5． 解析：如果函數在某區間滿足二分法題設，且在區間內存在兩個及以上的實根，二分法只可能求出其中的一個，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數的近似解，二分法的實施滿足零點存在性定理，在區間內一定存在零點，甚至有可能得到函數的精確零點。
點評：該題深入解析了二分法的思想方法。
例6．解析：由四舍五入的原則知道，當
時，精度達到
。此時差限
是0.0005，選項為C。
點評：該題考察了差限的定義，以及它對精度的影響。
題型4：應用“二分法”求函數的零點和方程的近似解
例7． 解析：原方程即
。令
，
用計算器做出如下對應值表
x
－2
－1
0
1
2
f(x)
2.5820
3.0530
27918
1.0794
－4.6974
觀察上表，可知零點在（1，2）內
取區間中點
=1.5，且
，從而，可知零點在（1，1.5）內；
再取區間中點
=1.25，且
，從而，可知零點在（1.25，1.5）內；
同理取區間中點
=1.375，且
，從而，可知零點在（1.25，1.375）內；
由于區間（1.25，1.375）內任一值精確到0.1后都是1.3。故結果是1.3。
點評：該題系統的講解了二分法求方程近似解的過程，通過本題學會借助精度終止二分法的過程。
例8． 分析：本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區間和解的個數外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數？
略解：圖象在閉區間
，
上連續的單調函數
，在
，
上至多有一個零點。
點評：①第一步確定零點所在的大致區間，，可利用函數性質，也可借助計算機或計算器，但盡量取端點為整數的區間，盡量縮短區間長度，通常可確定一個長度為1的區間；
②建議列表樣式如下：
零點所在區間
中點函數值
區間長度
[1，2]
>0
1
[1，1.5]
<0
0.5
[1.25，1.5]
<0
0.25
如此列表的優勢：計算步數明確，區間長度小于精度時，即為計算的最后一步。
題型5：一元二次方程的根與一元二次函數的零點
例9． 分析：從二次方程的根分布看二次函數圖像特征，再根據圖像特征列出對應的不等式（組）。
解析：（1）設
，
由
，知
∴
，
∴
（2）令
∴
，
且
，∴
，∴
，
綜上，。
評析：二次方程、二次函數、二次不等式三者密不可分。
例10．解析：設
，則
的二根為和。
（1）由
及
，可得 
，即
，
即
兩式相加得
，所以，
；
（2）由
, 可得 
。
又
，所以
同號。
∴ 
，
等價于
或
,
即 
或
解之得 
或
。
點評：條件實際上給出了
的兩個實數根所在的區間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉化。
【課外作業】
1． 答案:A，令
即可；
2． 答案:B;
3．答案:C，由
可得
關于
對稱，∴
,∴
∴
，∴
，∵，∴
。
4、 答案:D, ∵
,∴
∴
, ∴
5． 答案:C，先求出
，根據單調性求解；
五．思維總結
1．函數零點的求法：
①（代數法）求方程
的實數根；
②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數
的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點。
2．解決二次函數的零點分布問題要善于結合圖像，從判別式、韋達定理、對稱軸、區間端點函數值的正負、二次函數圖像的開口方向等方面去考慮使結論成立的所有條件。函數與方程、不等式聯系密切，聯系的方法就是數形結合。
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com