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1.拋擲2顆骰子,所得點數之和ξ是一個隨機變量,則P(ξ≤4)為(   )

A.            B.             C.            D.

分析 本題考查離散型隨機變量和的概率.

解 ξ=2對應(1,1)；ξ=3對應(1,2),(2,1)；ξ=4對應(1,3),(2,2),(3,1).故ξ=2,3,4時分別對應1,2,3個基本事件.

而整個事件包含36個基本事件,由等可能事件的概率公式,得

P(ξ≤4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=++=.

答案 D

2.一班有學員54人,二班有學員42人,現在要用分層抽樣的方法從兩個班抽出一部分人參加4×4方隊進行軍訓表演,則一班和二班分別被抽取的人數是(    )

A.9人、7人                      B.15人、1人

C.8人、8人                      D.12人、4人

解析 由題意知,各班所抽人數應按各班所占人數的比例來抽取,一班被抽取的人數為16×=9(人);二班被抽取的人數為16-9=7(人).

答案 A

3.某一天供電網絡,有n個用電單位,每個單位在一天中使用電的機會都是p,供電網絡中一天平均用電的單位個數是(    )

A.np(1-p)               B.np               C.n             D.p(1-p)

解析 因為每天用電單位的個數ξ服從二項分布,所以Eξ=np.

答案 B

4.設隨機變量ξ服從正態分布N(0,1),記Φ(x)=P(ξ＜x),則下列結論不正確的是(    )

A.Φ(0)=0.5                     B.Φ(x)=1-Φ(-x)

C.P(|ξ|＜a)=2Φ(a)-1            D.P(|ξ|＞a)=1-Φ(a)

分析 本題考查正態分布的運算.

解 由正態分布的相關概念易知A、B、C正確,P(|ξ|＞a)=1-P(|ξ|＜a)=1-［2Φ(a)-1］=2-2Φ(a).

答案 D

5.有10件產品,其中3件是次品,從中任取兩件,若ξ表示取得次品的個數,則Eξ等于(   )

A.                  B.               C.            D.1

分析 本題考查離散型隨機變量的數學期望,解題的關鍵是找到與每個ξ的值相對應的概率P的值.

解 由題意,知ξ取0,1,2,它取每個值的概率都符合等可能事件的概率公式,即

P(ξ=0)==,

P(ξ=1)= =,

P(ξ=2)= =.

于是Eξ=0×+1×+2×=.

答案 A

6.從存放號碼分別為1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一張卡片并記下號碼,統計結果如下:

卡片號碼

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

取到的次數

13

8

5

7

6

13

18

10

11

9

則取到號碼為偶數的頻率是(   )

A.0.53                B.0.5             C.0.47               D.0.37

解析

答案 C

7.★某公司有5萬元資金用于投資開發項目,如果成功,一年可獲利12%;一旦失敗,一年后將喪失全部資金的50%.下表是過去100例類似項目開發的實施結果:

投資成功

投資失敗

96次

4次

則該公司一年后估計可獲收益的期望是(    )

A.4 000元                          B.4 520元

C.25 000元                         D.4 760元

分析 本題考查概率的基本知識和數學期望概念,應用概率知識解決實際問題的能力.

解 收益的期望為5×12%×-5×50%×=0.476 0(萬元)=4 760(元).

答案 D

8.每次從0~9這10個數字中隨機取一個數字（取后放回），連續取n次，得到n個數字組成的數字序列.若使該序列中的數字6至少出現一次的概率為0.8，則n的最小值是（    ）

A.14                B.15                C.16                   D.17

分析 本題考查等可能性事件概率的應用.

解 有放回地排列n個數字，得10ⁿ個基本事件，其中不含6的基本事件為9ⁿ.由題意得≥0.8,

即0.9ⁿ≤0.2,∴n≥≈15.3.

∴n最小取16.

答案 C

9.已知隨機變量ξ~B(9,),則使P(ξ=k)取得最大值的k值為 (    )

A.2               B.3                 C.4                    D.5

分析 ξ~B(n,p)為二項分布,要熟記二項分布的公式P(ξ=k)=p^k(1-p)^n-k,求P(ξ=k)的最大值,還要注意對不等式組的運算.

解 ∵ξ服從二項分布,

∴P(ξ=k)=()^k()^9-k,

要使P(ξ=k)最大,則只需

即

解得k=2.

答案 A

10.右圖是當σ取三個不同值σ₁、σ₂、σ₃的三種正態曲線N（0,σ²)的圖，那么σ₁、σ₂、σ₃的大小關系是(   )

A.σ₁>1>σ₂>σ₃>0                    B.0<σ₁<σ₂<1<σ₃

C.σ₁>σ₂>1>σ₃>0                    D.0<σ₁<σ₂=1<σ₃

分析 本題考查正態曲線的性質.

解 由正態曲線,可知

當μ=0時，.

令x=0,得.

當σ=1時，;

當0<σ<1時，它與y軸交點的縱坐標大于f(0);

當σ>1時，它與y軸交點的縱坐標小于f(0).

答案 D

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.設一次試驗成功的概率為p,現進行16次獨立重復試驗.當p=       時,成功次數的標準差最大,其最大值為           .

分析 本題考查服從二項分布的隨機變量的標準差.解題的關鍵是構造目標函數.

解 由于成功的次數ξ服從二項分布,所以Dξ=npq=16p(1-p).

∴σξ=16p(1-p)=4p(1-p)≤4×p+1-p[]2=2.

當且僅當p=1-p,即p=1[]2時取等號,此時(σξ)max=2.

另解 σξ=,

∵0≤p≤1,∴當p=時,(σξ)_max=2.

答案  2

12.右圖是一樣本的頻率分布直方圖,其中(4,7)內的頻數為4,數據在［1,4)∪［7,16)內的頻率為        ,樣本容量為          .

分析 本題考查一樣本在給定區間內的頻率及該樣本的容量.注意用相應的直方圖面積來表示在各個區間內取值的頻率時,所有小矩形的面積和等于1.

解 在(4,7)內的頻率為P₁,且=,

所以P₁=.

所以數據在［1,4)∪［7,16)內的頻率為.

設樣本容量為n,則=,解得n=22.

答案  22

解析 由題意知ξ=1,2,3.ξ取1,2,3的概率依次是4a,2a,a,因為4a+2a+a=1,所以a=,即ξ取1,2,3的概率依次是,,.

答案 分布列為

ξ

1

2

3

P

P(ξ＞1)=.

14.將參加數學競賽的1 000名學生編號如下:0 001,0 002,0 003,…,1 000,打算從中抽取一個容量為50的樣本,按系統抽樣的方法分成50個部分,如果第一部分編號為0 001,0 002,0 003,…,0 020,在第一部分隨機抽取一個號碼為0 015,則抽取的第40個號碼為.

解析 由系統抽樣的要求可知,所抽取的號碼是首項為a₁=0 015,公差為d=20的等差數列.所以a₄₀=a₁+(40-1)d=0 015+39×20=0 795.

答案 0 795

15.(本小題滿分8分)進行某種試驗,設試驗成功的概率為,失敗的概率為,以ξ表示試驗首次成功所需試驗的次數,試寫出ξ的分布列,并計算ξ取偶數的概率.

分析 本題考查如何布列離散型隨機變量的分布列,以及如何求它的和的概率.其中ξ=k表示前(k-1)次試驗失敗而第k次試驗成功這一事件,ξ服從幾何分布.它是相互獨立事件同時發生的概率模型.設事件A₁,A₂,…,A_n相互獨立,那么這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率的積,即P(A₁?A₂?…?A_n)=P(A₁)?P(A₂)?…?P(A_n).

解 隨機變量ξ的取值是1,2,3,…,k,….         2分

∵P(ξ=1)=,

P(ξ=2)=?(),

P(ξ=3)=?()²,

…

P(ξ=k)=?()^k-1,

…

ξ

1

2

3

…

K

…

P

?

?（）²

…

?（）^k-1

…

∴ξ的分布列為

5分

取偶數的概率為

16.(本小題滿分8分)人壽保險中的某一年齡段,在一年的保險期內,每個被保險人需交納保險費a元,被保險人意外死亡則保險公司賠付3萬元,出現非意外死亡則賠付1萬元.經統計此年齡段一年內意外死亡的概率為p₁,非意外死亡的概率為p₂,則保險費a需滿足什么條件,保險公司才可能盈利？

分析 本題考查離散型隨機變量的期望在現實生活中的應用.

要使保險公司盈利,需使它所收總保險費大于總賠付費,即它的期望大于零.解題的關鍵是列出分布列,求出數學期望.

解 設ξ為保險公司對每一投保人的盈利數,則ξ的可能取值為a,a-30 000,a-10 000.     2分

且P(ξ=a)=1-p₁-p₂,

P(ξ=a-30 000)=p₁,

P(ξ=a-10 000)=p₂.     5分

隨機變量ξ的概率分布列為

ξ

A

a-30 000

a-10 000

P

1-p₁-p₂

p₁

p₂

6分

Eξ=a(1-p₁-p₂)+(a-30 000)p₁+(a-10 000)p₂

=a-30 000p1-10 000p2.

保險公司要盈利,必須使Eξ＞0.于是a＞30 000p1+10 000p2.8分

[]17(本小題滿分8分)從全校參加科技知識競賽的學生試卷中，抽取一個樣本，考察競賽的成績分布.將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖(如右圖)，圖中從左到右各小組的小長方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2，最右邊一組的頻數是6.

請結合直方圖提供的信息，解答下列問題：

(1)樣本的容量是多少？

(2)列出頻率分布表；

(3)成績落在哪個范圍內的人數最多？并求該小組的頻數、頻率；

(4)估計這次競賽中，成績不低于60分的學生占總人數的百分率.

分析 當樣本中的個體取不同的值較多時，通常用頻率分布直方圖的面積來表示各個區間內取值的概率，所有小矩形的面積之和等于1.

解 (1)由于各組的組距相等，所以各組的頻率與各小長方形的高成正比且各組頻率的和等于1，那么各組的頻率分別為,,,,.設樣本容量為n,則=,所以樣本容量n=48.                             

2分

(2)

成績

頻數

頻率

50.5~60.5

3

60.5~70.5

9

70.5~80.5

18

80.5~90.5

12

90.5~100.5

6

合計

48

1

5分

(3)成績落在70.5~80.5之間的人數最多，該組的頻數和頻率分別是18和.    6分

(4)不低于60分的學生占總人數的百分率為1-≈94%.        8分

18.(本小題滿分10分)設一汽車在前進途中要經過4個路口,汽車在每個路口遇到綠燈的概率為,遇到紅燈(禁止通行)的概率為.假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地才停止前進,ξ表示停車時已經通過的路口數,求:

(1)ξ的概率的分布列及期望Eξ;

(2)停車時最多已通過3個路口的概率.

分析 本題重點考查概率與分布的基礎知識.正確確定隨機變量的所有可能取值以及取每一個值的概率是解決本題的關鍵.

解 (1)ξ的所有可能值為0,1,2,3,4.

用A_k表示“汽車通過第k個路口時不停(遇綠燈)”,

則P(A_k)=(k=1,2,3,4),且A₁,A₂,A₃,A₄獨立.

故P(ξ=0)=P()=,     2分

P(ξ=1)=P(A₁?)=×=,

P(ξ=2)=P(A₁?A₂?)=()²×=,

P(ξ=3)=P(A₁?A₂?A₃?)=()³×=,

P(ξ=4)=P(A₁?A₂?A₃?A₄)=()⁴=.       5分

從而ξ有分布列

ξ

0

1

2

3

4

P

6分

Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=.    8分

(2)P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1-=.

答:停車時最多已通過3個路口的概率為.             10分

19.(本小題滿分10分)某5名學生的數學和化學成績如下表:

       學生

學科

A

B

C

D

E

數學成績（x）

88

76

73

66

63

化學成績(y)

78

65

71

64

61

(1)畫出散點圖;

(2)求化學成績(y)對數學成績(x)的回歸直線方程.

分析 本題考查如何求回歸直線的方程.分清自變量與因變量是正確解題的關鍵.

解 (1)

         3分

(2)

序號

x

Y

x²

y²

xy

1

2

3

4

5

88

76

73

66

63

78

65

71

64

61

7 744

5 776

5 329

4 356

3 969

6 084

4 225

5 041

4 096

3 721

6 864

4 940

5 183

4 224

3 843

∑

366

339

27 174

23 167

25 054

5分

     9分

所以y對x的回歸直線方程為=0.62x+22.06.         10分