2009年哈師大附中高二下學期期中考試數學試卷（理科）
第Ⅰ卷 （選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．若復數
，則
對應復平面上的點在
（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．定積分
的值為
（
）
A．1
B．
3．以下圖形分別表示一個三次函數及其導數在同一坐標系中的圖象，其中一定不正確的有 （ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．函數
的單調遞增區間是
（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函數
，則
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，則
的值為
（
）
A．
B．
C．
D．不存在
7．設坐標平面上的拋物線C：
，過第一象限的點
作曲線C的切線
，與
軸的夾角為30o，則的值為
（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，
，且
，則實數
的值為
（
）
A． B．
C．
D．
9．若直線
和⊙O：
沒有交點，則過點
的直線與橢圓
的交點個數為
（
）
A．至多1個 B．2個 C．1個 D．0個
10．函數
是圓心在原點的單位圓的兩段圓弧（如圖），則不等式
的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若
，則
與
的大小關系是 （ ）
A．
B．
C．
D．與
的值有關
12．偶函數
在
內可導，且
，
，則曲線 在點
處切線的斜率為
（
）
A． B．
C．
D．
第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題紙相應位置上）
13．已知某圓的極坐標方程為
，化為普通方程為______________________．
14．把由曲線
及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周，則旋轉所形成的旋轉體的體積為_____________．
15．已知
，則
_____________．
16．已知函數
都是定義在
上的函數，
，
，
，
，在有窮數列
中，任意取正整數
，前
項和大于
的概率是 _____________．
三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本題滿分10分）
已知復數
，當為何值時，復數：
（1）是實數；
（2）是純虛數．
18．（本題滿分12分）
已知函數
．
（1）求的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數的取值范圍．
19．（本題滿分12分）
如圖，在會展中心廣場要臨時搭建占地面積為平方米長寬不等的冰雕景區，四周有小路，冰雕景區長邊外小路寬米
．對于給定的
，怎樣設計冰雕景區的長與寬，使冰雕景區和小路占地面積總和最小．
20．（本題滿分12分）
如圖，直三棱柱ABC―A1B
（1）求證：AD⊥平面BB
（2）若E為AD上不同于A、D的任一點，求證：EF⊥FC1；
（3）若AB=3，求FC1與平面AA1B1B所成角的正弦值．
21．（本題滿分12分）
已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的3個點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓中心，且
，
．
（1）求橢圓方程；
（2）動弦CP、CQ分別交軸于E、F兩點，且
， 求證：
．
22.（本題滿分12分）
已知函數
的圖象如圖所示，與軸相切于點O，與正半軸相交于點A，且此函數圖象與軸所圍成區域（圖中陰影部分）的面積為
.
（1）求函數的解析式；
（2）設
，如果過點可作函數的兩條切線，
求證：點在函數 的圖象上，或者在某條定直線上，并求出該直線方程；
（3）設
，求證：
．
哈師大附中高二下學期期中考試數學答案（理科）
三、解答題
17.解：（1）若復數為實數，則有
，
或
……
（2）若復數為純虛數，則有
且
，
……
18.解：（1）
……
令
，
或
，
令
，
……
的單調遞增區間為
，減區間為
……
（2）當
時，由（1）知在上遞減，在
上遞增，
當
時有最小值為
，……
若當時不等式恒成立，則只須
，即
……
19.解：設冰雕景區的長為米，則寬為
米，設總占地面積為平方米，依題意有
……
……
令
得
……
（1）當
時，則
，
此時
，當且僅當時取等號 ……
（2）當
時，則
，
此時
，函數在
上單調遞增，
時，最小 ……
（3）當
時，
此時
，函數在上單調遞減，
時，最小 ……
答：當時，長取
米，面積總和最小；
當時，長取
米，寬取
米，面積總和最小；
當時，長取
米，面積總和最小。……
20.證明 (1)在直三棱柱中，
⊥平面
，
面 ，
⊥
又
，
為
的中點，⊥，且
面
⊥面
……
(2)連結
，
，
⊥
，又
⊥面⊥且
，
面
⊥面，
面
⊥
……
(3)過
作
⊥
于
，連結
，
⊥面
，且
面
，
面⊥面，且面
面
，又
⊥，
⊥面與平面所成的角為
，在
中，
與面所成的角的正弦值為
……
21.解：(1)設橢圓方程為：
，
，由已知
① ……
，
為等腰直角三角形
②…
由①②得：
，代入橢圓方程得
，橢圓方程為
……
(2)
,不妨設
，設直線
方程：
聯立
得
，
………8
同理
，………
且
，
，
………
22解：（1）依題可知，，所以
因為
，所以
則
令
，則
故
所以
（
不符合題意，舍去）
所以
（2）證明：由（1）知，
，
設函數在點
處的切線方程為
若有一條切線過點，則存在實數
，使
即
令
，則
因為，所以，當
或
時，
；當
時，
所以，
在
處取得極大值
，在
處取得極小值
如果過點可作函數的兩條切線，則方程有兩個相異實根，所以
或
即點滿足
在曲線上，或者點滿足
，在定直線
上
（3）令
因為
，所以
，
所以
在
上成立，即
為
上單調遞增函數，
所以
成立，即成立. 
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