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（本小題滿分14分）一個口袋中裝有個紅球和5個白球，一次摸獎從中摸兩球，兩個球顏色不同則為中獎。
（1）試用表示一次摸獎中獎的概率；
（2）若，求三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率;
（3）記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為，當取多少時，最大？

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一、選擇題：（本大題12個小題，每小題5分，共60分）

1．B．2．B．3．C．4．A．5．A．6．D．7．C．8．B．9．B．10．C．11．D．12．D．

二、填空題：（本大題4個小題，每小題4分，共16分）

13．；    14．(－∞，－1]∪[3，＋∞)∪{0}；    15．1，－1，2，－2；     16．

三、解答題：（本大題6個小題，共74分）

17．（12分）

解：（Ⅰ）∵()²＝?＋?＋?，∴ ()²＝?(＋)＋? ，

 即()²＝?＋?，即?＝0．∴△ABC 是以C為直角頂點的直角三角形．

∴sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，A∈(0，) ，

∴sinA＋sinB的取值范圍為．

（Ⅱ）在直角△ABC中， a＝csinA，b＝ccosA．

若a²(b＋c)＋b²(c＋a)＋c²(a＋b)≥kabc，對任意的滿足題意的a、b、c都成立，

則有≥k，對任意的滿足題意的a、b、c都成立，

∵

＝[c²sin²A(ccosA＋c)＋c²cos²A(csinA＋c)＋c²(csinA＋ccosA)]

＝[ sin²AcosA＋cos²A sinA＋1＋cosA＋sinA]＝cosA＋sinA＋                           

令t＝sinA＋cosA，t∈，

設f(t)＝＝t＋＝t＋＝t－1＋＋1．

f(t)＝t－1＋＋1，當t－1∈時 f(t)為單調遞減函數，

∴當t＝時取得最小值，最小值為2＋3，即k≤2＋3．

∴k的取值范圍為（－∞，2＋3]．

命題意圖：本題是平面向量與三角函數相結合的問題，運用平面向量的運算的意義轉化為三角函數的邊角關系，進而運用三角函數的圖象與性質求值域．第Ⅱ小題將不等式恒成立的問題轉化為求三角函數的最值，其中運用了換元法．

18．（12分）

解：（Ⅰ）一次摸獎從個球中任選兩個，有種，它們等可能，其中兩球不同色有種，一次摸獎中獎的概率．

（Ⅱ）若，一次摸獎中獎的概率，三次摸獎是獨立重復試驗，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率是．

(Ⅲ)設每次摸獎中獎的概率為，則三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為，，

，知在上為增函數，在上為減函數，當時取得最大值．又，解得．

答：當時，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率最大．

命題意圖：本題是一個在等可能性事件基礎上的獨立重復試驗問題，體現了不同概型的綜合．第Ⅲ小題中的函數是三次函數，運用了導數求三次函數的最值．如果學生直接用代替，函數將比較煩瑣，這時需要運用換元的方法，將看成一個整體，再求最值．

19．（12分）

（Ⅰ）解：∵f(x)＋g(x)＝10^x ①，∴f(－x)＋g(－x)＝10^－x，∵f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴－f(x)＋g(x)＝10^－x ②，由①，②解得f(x)＝(10^x－)，g(x)＝(10^x＋)．

（Ⅱ）由y＝(10^x－)得，(10^x)²－2y×10^x－1＝0，解得10^x＝y±，

∵10^x＞0，∴10^x＝y＋，x＝lg(y＋)，∴f(x)的反函數為f^－1(x)＝lg(x＋)．x∈R．

（Ⅲ）解法一：g(x₁)＋g(x₂)＝(10＋)＋(10＋)＝(10＋10)＋(＋)

≥×2＋×2＝10＋＝2g()．

解法二：[g(x₁)＋g(x₂)]－2g()＝(10＋)＋(10＋)－(10＋)

＝－＝

＝≥＝0．

（Ⅳ）f(x₁－x₂)＝f(x₁)g(x₂)－g(x₁)f(x₂)，g(x₁＋x₂)＝g(x₁)g(x₂)－f(x₁)f(x₂)．

命題意圖：考查函數的函數解析式，奇函數，單調性，反函數等常規問題的處理方法，第（Ⅲ）問，第（Ⅳ）問把函數與不等式的證明，函數與指對式的化簡變形結合起來，考查學生綜合應用知識的能力．

20．（12分）

解：設進水量選第x級，則t小時后水塔中水的剩余量為：

y＝100＋10xt－10t－100，且0≤t≤16．

根據題意0＜y≤300，∴0＜100＋10xt－10t－100≤300．?

當t＝0時，結論成立．

當t＞0時，由左邊得x＞1＋10()

令m=，由0＜t≤16，m ≥，

記f(t)=1＋10（）=1＋10m²－10m³，（m ≥），

則f¢(t)=20m ? 30 m ² =0得m = 0或m =．

∵當≤m ＜時，f¢(t)＞0；當m ＞時，f¢(t)＜0，

∴所以m =時(此時t =)，f(t)最大值=1＋10（）²－10（）³=≈2.48．

當t＝時，1＋10（）有最大值2.48．∴x＞2.48，即x≥3．

由右邊得x≤＋1，

當t＝16時，＋1有最小值＋1=∈(3，4)．即x≤3．

21．（12分）

（Ⅰ）解：設N(x₀，y₀)，（x₀＞0），則直線ON方程為y＝x，與直線x＝－p交于點M(－p，－)，代入＝得，＝，

或＝．

化簡得(p²－1)x₀²＋p²y₀²＝p²－1．

把x₀，y₀換成x，y得點N的軌跡方程為(p²－1)x²＋p²y²＝p²－1．(x＞0)

（1）當0＜p＜1時，方程化為x²－＝1表示焦點在x軸上的雙曲線的右支；

（2）當p＝1時，方程化為y＝0，表示一條射線（不含端點）；

（3）當p＞1時，方程化為x²＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓的右半部分．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知|AN|＝＝

＝＝x₀＋1．

當0＜p＜1時，因x₀∈[1，＋∞)，故|AN|無最大值，不合題意．

當p＝1，因x₀∈(0，＋∞)，故|AN|無最大值，不合題意．

當p＞1時，x₀∈(0，1]，故當x₀＝1時，|AN|有最大值＋1，由題意得＋1≤，

解得p≥2．所以p的取值范圍為[2，＋∞)．

命題意圖：通過用設點，代換，化簡，檢驗等步驟求曲線方程，考查解析幾何中已知曲線求方程的能力，并結合含參數的方程表示的曲線類型的討論考查學生的分類討論思想的應用．

22．（14分）

解：（Ⅰ）∵　，a，N*，

∴　　　∴　　　∴　

∴　           ∴　a＝2或a＝3．

∵當a＝3時，由得，即，與矛盾，故a＝3不合題意． 　

∴a＝3舍去，   ∴a＝2．

（Ⅱ），，由可得． 　

∴．∴ 是5的約數，又，∴　b＝5 ．

(Ⅲ)若甲正確，則存在（）使，即對N*恒成立，

當時，，無解，所以甲所說不正確．

若乙正確，則存在（）使，即對N*恒成立，

當時，，只有在時成立，

而當時不成立，所以乙所說也不成立．

命題意圖：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，用兩邊夾的方法確定整數參數．第Ⅲ小題對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．