如圖，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一塊三角尺的直角頂點與斜邊AB的中點M重合，當三角尺繞著點M旋轉時，兩直角邊始終保持分別與邊BC、AC交于D，E兩點（D、E不與B、A重合）．
（1）求證：MD=ME；
（2）求四邊形MDCE的面積；
（3）若只將原題目中的“AC=BC=2”改為“BC=a，AC=b，（a≠b）”其它都不變，請你探究：MD和ME還相等嗎？如果相等，請證明；如果不相等，請求出MD：ME的值．

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30、如圖，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一塊三角尺的直角頂點與斜邊AB的中點M重合，當三角尺繞著點M旋轉時，兩直角邊始終保持分別與邊BC、AC交于D，E兩點（D、E不與B、A重合）．
（1）試說明：MD=ME；
（2）求四邊形MDCE的面積．

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如圖，已知正方形ABCD，將一塊等腰直角三角尺的銳角頂點與A重合，并將三角尺繞點旋轉，如圖1，使它的斜邊與BC交于點E，一條直角邊與CD交于點F（E、F不與B、D重合），AE、AF分別與BD交于P、Q兩點．
（1）求證：△ABP∽△ACF，且相似比為1：

2

；
（2）請再在圖1中（不再添線和加注字母）找出兩對相似比為1：

2

的非直角三角形的相似三角形；（直接寫出）
（3）如圖2，當M點旋轉到BC的垂直平分線PQ上時，連接ON，若ON=8，求MQ的長．

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

B

B

C

C

C

B

A

B

二、選擇題

11．；12．145；13．20^o；14．大于4萬件 15. 內切；16．0.45；17．①②④；18．（-8，0）.

三、解答題

19．解：原式_， 當x＝?0.5時，原式=0.5.

20．解：在Rt△AMN中，AN =MN×tan∠AMN=30×=.在Rt△BMN中,BN =MN×tan∠BMN=30×=.AB=AN-BN=. 則到的平均速度為：AB÷2=÷2=≈17（米/秒）．70千米/時=175÷9米/秒米/秒米/秒，此車沒有超過限速．

21．（1）被調查的學生數為（人）.

（2）“教師”所在扇形的圓心角的度數為

（1-15%-20%-10%-×100%）×360°=72°.

（3）補全圖如圖1，圖2，所示.

22．解：（1）如圖：， （2） (b，a) 　

（3）由（2）得，D(1,-3) 關于直線l的對稱點的

坐標為(-3,1)，連接E交直線l于點Q，此時點Q

到D、E兩點的距離之和最小。設過(-3,1)、E(-1,-4)

的直線的解析式為，則

　   ∴   ∴．

由 得  

23．解：（1）過C點作CG⊥AB于G，在Rt△AGC中，

∵sin60°=，∴∵AB=2，

∴S_梯形CDBF=S_△ABC= .

（2）菱形 ∵CD∥BF，FC∥BD，∴四邊形CDBF是平行四邊形.

∵DF∥AC，∠ACB=90°，∴CB⊥DF   ∴四邊形CDBF是菱形.

（3）過D點作DH⊥AE于H，則S_△ADE= 又S_△ADE

=， ∴在Rt△DHE中，sinα=.

24．解：（1）在直角三角尺中，總有∠GDH=90°，

易得∠GDC=∠HDF，又∵ DC=DF∴△GDC≌△HDF

∴GC=HF, 又∵BC=EF∴ BG=EH;

（2）同理可證△DFH≌△DCG ∴  CG=FH,

又∵BC+CG=EF+FH, ∴BG=EH.

25．解:①由題意得與之間的函數關系式（，且x是整數）

②由題意得與之間的函數關系式

③由題意得

∴當x=100時，W_最大=30000，∵100天<160天.∴存放100天后出售這批鴨梨可獲得最大利潤30000元．

26．解：（1）∵AB∥OC,∴∠OAB=∠AOC=90°,在Rt△OAB中，AB=2,AO=，∴OB=4，

∠ABO=60°，∴∠BOC=60°，而∠BCO=60°，∴△BOC為等邊三角形.∴OH=OB?cos30°=.

（2）∵OP=OH-PH= ，過P作y軸的垂線段PG，PG=3- ∴

（），即∴當時，_.

（3）①若為等腰三角形，則：

（i）若,∴∥

∴ 即  解得：

此時.

（ii）若,∠OPM=∠OMP=75°,∴∠OQP ₌=45°.

過點作，垂足為，則有：

即，解得：.

此時.

（iii）若，

∴∥，此時在上，不滿足題意.

 ②線段長的最大值為.

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