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設雙曲線的左、右頂點分別為A₁、A₂，點P（x₁，y₁）、Q（x₂，-y₁）是雙曲線上不同的兩個動點。
（1）求直線A₁P與A₂Q交點的軌跡E的方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A、B，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由。

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設雙曲線的左、右頂點分別為A₁、A₂，點P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是雙曲線上不同的兩個動點。
 （1）求直線A₁P與A₂Q交點的軌跡E的方程；
 （2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A、B，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由。

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1．解析：，故選A。

2．解析：∵

，

故選B。

3．解析：由，得，此時，所以，，故選C。

4．解析：顯然，若與共線，則與共線；若與共線，則，即，得，∴與共線，∴與共線是與共線的充要條件，故選C。

5．解析：設公差為，由題意得，；，解得或，故選C。

6．解析：∵雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，∴，又∵，∴，∴，∴雙曲線的離心率是。故選B.

7.解析：∵、為正實數，∴，∴；由均值不等式得恒成立，，故②不恒成立，又因為函數在是增函數，∴，故恒成立的不等式是①③④。故選C.

8．解析：∵，∴在區間上恒成立，即在區間上恒成立，∴，故選D。

9．解析：∵

，此函數的最小值為，故選C。

10．解析：如圖，∵正三角形的邊長為，∴，∴，又∵，∴，故選D。

11．解析：∵在區間上是增函數且，∴其反函數在區間上是增函數，∴，故選A

12．解析：如圖，①當或時，圓面被分成2塊，涂色方法有20種；②當或時，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；

③當時，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是，故選A。

13．解析：做出表示的平面區域如圖，當直線經過點時，取得最大值5。

14.解析：∵，∴時，，又時，滿足上式，因此，，

∴。

15．解析：設正四面體的棱長為，連，取的中點，連，∵為的中點，∴∥，∴或其補角為與所成角，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴與所成角的余弦值為。

16．解析：∵，∴，∵點為的準線與軸的交點，由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知，點為拋物線上關于軸對稱的兩點且做出圖形如右圖，其中為點到準線的距離，四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴向量與的夾角為。

17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，，…2分

∴，，………4分

（Ⅱ）∵，，∴，∴，………………………6分

又∵，∴，∴，………………………8分

∴。………………………10分

18.解析：（Ⅰ）∵，∴；……………………理3文4分

（Ⅱ）∵三科會考不合格的概率均為，∴學生甲不能拿到高中畢業證的概率；……………………理6文8分

（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為，∴學生甲被評為三好學生的概率為。……………………12分

（理）∵，，，。……………………9分

∴的分布列如下表：

0

1

2

3

∴的數學期望。……………………12分

19．(12分)解析：（Ⅰ）時，

，，

由得， 或   ………3分

+

0

－

0

+

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增

，      ………………………6分

（Ⅱ）在定義域上是增函數，

對恒成立，即 

   ………………………9分

又（當且僅當時，）

 ………………………4分

20．解析：（Ⅰ）∵∥，，∴，∵底面，∴，∴平面，∴，又∵平面，∴，∴平面，∴。………………………4分

（Ⅱ）∵平面，∴，，∴為二面角的平面角，………………………6分

，，∴，又∵平面，，∴，∴二面角的正切值的大小為。………………………8分

（Ⅲ）過點做∥，交于點，∵平面，∴為在平面內的射影，∴為與平面所成的角，………………………10分

∵，∴，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為。………………………12分

解法2：如圖建立空間直角坐標系，（Ⅰ）∵，，∴點的坐標分別是，，，∴，，設，∵平面，∴，∴，取，∴，∴。………………………4分

（Ⅱ）設二面角的大小為，∵平面的法向量是，平面的法向量是，∴，∴，∴二面角的正切值的大小為。………………………8分

（Ⅲ）設與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是，，∴，∴，∴與平面所成角的正切值為。………………………12分

21.（Ⅰ） 解析：如圖，設右準線與軸的交點為，過點分別向軸及右準線引垂線，∵，∴，又∵ ∥，∴，………………………2分

∴，又∵，∴，又∵，解得，∴，∴雙曲線的方程為。………………………4分

（Ⅱ）聯立方程組   消得：

由直線與雙曲線交于不同的兩點得：

即   于是 ，且    ………………①………………………6分

設、，則

……………………9分

又，所以，解得      ……………②   

由①和②得    即 或

故的取值范圍為。………………………12分

22．(12分)解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，∴數列是等差數列，………………………2分

又∵，，∴公差為2，

∴，………………………4分

（Ⅱ）∵，∴，

∴數列是公比為2的等比數列，

∵，∴，………………………6分

（Ⅲ）∵，

∴………………………8分

∴………………………10分

∵，∴，又∵，∴………………………12分