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A．（選修4-4坐標系與參數方程）已知點A是曲線ρ=2sinθ上任意一點，則點A到直線ρsin(θ+

π

3

)=4的距離的最小值是

 

．
B．（選修4-5不等式選講）不等式|x-log₂x|＜x+|log₂x|的解集是

 

．
C．（選修4-1幾何證明選講）如圖所示，AC和AB分別是圓O的切線，且OC=3，AB=4，延長AO到D點，則△ABD的面積是

 

．

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A．選修4-1：幾何證明選講
銳角三角形ABC內接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧

AB

于點E，連接EC，求∠OEC．
B．選修4-2：矩陣與變換
曲線C₁=x²+2y2=1在矩陣M=[

1 2 0 1

]的作用下變換為曲線C₂，求C₂的方程．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
P為曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數）上一點，求它到直線C₂：

x=1+2t y=2

（t為參數）距離的最小值．
D．選修4-5：不等式選講
設n∈N^*，求證：

C 1 n

+

C 2 N

+L+

C N N

≤

n(2n-1)

．

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A．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，弧AB=弧AD，過A點的切線交CB的延長線于E點．
求證：AB²=BE•CD．
B．已知矩陣M

2 -3 1 -1

所對應的線性變換把點A（x，y）變成點A′（13，5），試求M的逆矩陣及點A的坐標．
C．已知圓的極坐標方程為：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（1）將圓的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）若點P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1．

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A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，直角△ABC中，∠B=90°，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，點E是AB的中點．
求證：DE是⊙O的切線．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值-1及其對應的一個特征向量為

1 -4

，點P（2，-1）在矩陣A對應的變換下得到點P′（5，1），求矩陣A．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρcos(θ-

π

4

)=

2

，曲線C的參數方程為

x=2cosα y=sinα

（α為參數），求曲線C截直線l所得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b，c都是正數，且abc=8，求證：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，直角△ABC中，∠B=90°，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，點E是AB的中點．
求證：DE是⊙O的切線．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值-1及其對應的一個特征向量為，點P（2，-1）在矩陣A對應的變換下得到點P′（5，1），求矩陣A．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為，曲線C的參數方程為（α為參數），求曲線C截直線l所得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b，c都是正數，且abc=8，求證：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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一、選擇題

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

C

A

B

D

A

D

B

A

C

D

C

1、B　

解：－＝，－＝，＜，故（A）錯。

（＋）²＝8＋2，（＋）²＝8＋2，故（B）對。

（＋）²＝20＋，（3＋）²＝20＋，故（C）錯。

5＋＜5＋＝8，故（D）也錯。

2、C

解：由，得，即,－2＜x－1＜1，即－1＜x＜2，又xZ，所以x為0，1，即N＝{0，1}，故可選（C）。

3、A　

解：＝－－2＜0，故①錯；

＝≥0，故②對；

＝，因為，b符號不確定，故③不一定成立。

對于④，因為a，b的符號不確定，也不成立。

4、B

解：當a，b都大于0時，由，得a≥b，所以，有成立，

當a，b都小于0時，由，得a≤b，所以，有成立，必要性成立。

而當a＜b，且b＜0時，成立，不成立，充分性不成立。

5、D

解：當x＝0時，原不等式為＋4≥0顯然成立，當x＝2時，原不等式為＋4≥2＋2，即－2＋2≥0，即（k²－1）²＋1≥0，也成立，故選（D）。

6、A　

解：由x（3－x）＞0，得x²－3x＜0，解得：0＜x＜3。

7、D　

解：由,且_{，∴，∴ 。}

8、B

解：依題意，有，解得：，f（x）＝，

f（－x）＝，開口向下，與x軸交點為2，－1，對稱軸為x＝

9、A

解：依題意，直線經過圓的圓心，圓心為（－1,2），故有－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，

＝＝≥＝4

10、C

解：如圖知區域的面積是△OAB去掉一個小直角三角形。

（陰影部分面積比1大，比小,故選C,不需要算出來）

11、D．由題意知直線與圓有交點，則.

另解：設向量，由題意知

由可得

12、C　

解：由，可得：

知滿足事件A的區域：的面積10，而滿足所有條件的區域的面積：，從而，得：。

二、填空題

13、　

解：A＝，B＝，可求。

14、3　

解：由得，代入得，當且僅當＝3 時取“＝”．

15、5　

解：如圖，由圖象可知目標函數過點時

取得最大值，，

16、a≤0．　

解：a≤在[1，2]上恒成立，a≤()_min=()_min=0．

三、解答題

17、解：（I）由，得．

（II）．

由，得，又，所以，

即的取值范圍是．

18．解：（Ⅰ）由題意得：    

（Ⅱ）設框架用料長度為，

則

當且僅當滿足          

答：當 米，米時，用料最少.

19、解：（1）依題意三角形NDC與三角形NAM相似，

所以,即， ，

矩形ABCD的面積為，定義域為，

要使倉庫占地ABCD的面積不少于144平方米即，

化簡得，解得 所以AB長度應在內.

（2）倉庫體積為  得，

當時，當時  所以時V取最大值米³，

即AB長度為20米時倉庫的庫容最大.

20、解：（1）

即（）；

    （2）由均值不等式得：

（萬元）

    當且僅當，即時取到等號．

答：該企業10年后需要重新更換新設備．

21、設，

=

因為是的必要不充分條件，所以，且推不出

而，

所以，則

即

22、解：設

       連結BD.

       則在中，

       設

       則

       等號成立時

       答：當時，建造這個支架的成本最低.