已知定義域為R的函數．
（1）判斷其奇偶性并證明；
（2）判斷函數f（x）在R上的單調性，不用證明；
（3）是否存在實數k，對于任意t∈[1，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立．若存在，求出實數k的取值范圍；若不存在，說明理由．