已知函數f（x）=a^x-a^-x，（a＞0且a≠1），
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）的單調性，并說明理由．（不需要嚴格的定義證明，只要說出理由即可）
（3）若a=

1

2

，方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x₀，請求出一個長度為1的區(qū)間（a，b），使x₀∈（a，b）；如果沒有，請說明理由．（注：區(qū)間（a，b）的長度=b-a）

已知常數a≠0，數列{a_n}前n項和為S_n，且Sn=an2-(a-1)n．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}為等差數列；
（Ⅱ）若an≤2n3-13n2+11n+1對任意的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若a=

1

2

，數列{c_n}滿足：cn=

an

an+2012

，對于任意給定的正整數k，是否存在p，q∈N^*，使得c_k=c_p•c_q？若存在，求出p，q的值（只要寫出一組即可）；若不存在說明理由．

已知常數a≠0，數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且an=

Sn

n

+a(n-1)．
（1）求證：數列{a_n}為等差數列；
（2）若bn=3n+(-1)nan，且數列{b_n}是單調遞增數列，求實數a的取值范圍；
（3）若a=

1

2

，數列{c_n}滿足：cn=

an

an+2011

，對于任意給定的正整數k，是否存在p，q∈N^*，使c_k=c_p•c_q？若存在，求p，q的值（只要寫出一組即可）；若不存在，說明理由．

已知：函數f(x)=

2x+3

3x

，數列{a_n}對n≥2，n∈N總有an=f(

1

an-1

)，a1=1；
（1）求{a_n}的通項公式．
（2）求和：S_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1
（3）若數列{b_n}滿足：①{b_n}為{

1

an

}的子數列（即{b_n}中的每一項都是{

1

an

}的項，且按在{

1

an

}中的順序排列）②{b_n}為無窮等比數列，它的各項和為

1

2

．這樣的數列是否存在？若存在，求出所有符合條件的數列{b_n}，寫出它的通項公式，并證明你的結論；若不存在，說明理由．