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（本題滿分12分）已知：正方形ABCD中，，繞點順時針旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于點．

【小題1】（1）當繞點旋轉到時（如圖1），求證：；
【小題2】（2）當繞點旋轉到時（如圖2），則線段和之間數量關系是                    ；
【小題3】（3）當繞點旋轉到如圖3的位置時，猜想線段和之間又有怎樣的的數量關系呢？并對你的猜想加以說明．

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一、選擇題

1．C       2．C       3．A      4．B       5．A      6．D      7．B       8．A

二、填空題

9．x(x＋2)(x－2)   10．20           11．2.9×10⁹         12．x≤2              13．18    14．70

15．7     16．              17．5            18．23   

三、解答題

19．原式＝－4＋2＋1－2－＋1       …………………………4分

＝－2－．          ……………………………………………8分

20．20．原式＝，                         ……………………………………6分

當x＝時，原式＝3（＋1）．                       ……………………8分

21．（1）旋轉中心點P位置如圖所示，          ………………………2分

點P的坐標為(0，1)                     ………………………4分

   （2）旋轉后的三角形④如圖所示．           ………………………8分

22．(1) 100，36               ……………………………………… 4分

   （2）1022                  ………………………………………8分

23．（1）第一次摸的牌

第二次摸的牌

（列表略）…………………………………………………………………………（4分）

（2）P（成軸對稱圖形）＝    ………………………………………………（8分）

24．（1）x軸處填20，y軸處填1250；………………………………………………（4分）

（2）由圖象可知，點A的坐標為（10，－2500），說明媽媽騎車速度為250米/分鐘，并返回到家的時間為20分鐘，設小欣早晨上學時間為x分鐘，則媽媽到家后在B處追到小欣的時間為（x－20）分鐘，根據題意，得：50x＝250（x－20），……………（7分）

解得：x＝25，…………………………………………………………………………（9分）

答：小欣早晨上學時間為25分鐘．………………………………………………（10分）

25．AB＝×30＝20（海里），              ………………………………………………（2分）

在Rt△ABP中，BP＝＝＝40（海里），………………………………（4分）

∵∠ABP＝60°，∠CBN＝30°，

∴∠PBC＝90°…………………………………………………………………………（5分）

在Rt△BCP中，BC＝1×30＝30（海里），…………………………………………（7分）

∴PC＝＝＝50（海里）．………………………………（9分）

答：P，C之間的距離為50海里．…………………………………………………（10分）

26．（1）用直尺和圓規作圖，作圖痕跡清晰；     ………………………………（4分）

（2）點P（1，1）關于點A（0，4）左轉彎運動到P₁（－3，3），……

點P₁（－3，3）關于點B（－4，4）左轉彎運動到點P₂（－5，3），

點P₂（－5，3）關于點C（－4，0）左轉彎運動到點P₃（－1，1），

點P₃（－1，1）關于點D（0，0）左轉彎運動到點P₄（1，1），   ………（6分）

點P₄（1，1）關于點A（0，4）左轉彎運動到點P₅（－3，3）， 

點P₅與點P₁重合，點P₆與點P₂重合，……，      ………………………（8分）

點P₂₀₀₈的坐標為（1，1），點P₂₀₀₉的坐標為（－3，3），點P₂₀₁₀的坐標為（－5，3）．          …………………………………………………………………………（10分）

27．（1）△ABP≌△BCQ，△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△BEP≌△CFQ，△ACP≌△BDQ；（從中任寫出三對全等三角形）……………………………………3分

如證明△ABP≌△BCQ，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCG＝90°，…………………4分

∵BQ⊥AP，∴∠BAP＝∠CBQ， ……………………………………………………5分

∴△ABP≌△BCQ．……………………………………………………………………6分

證明其它三角形全等可參照給分．

（2）當點P為BC的中點，∠AFB＝∠CFP．  ……………………………………8分

∵BP＝CP，BP＝CQ，∴CP＝CQ，   ………………………………………………9分

∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，………………………10分

∵CF＝CF，∴△CFP≌△CFQ， ……………………………………………………11分

∴∠CPF＝∠CQF，∵∠CQF＝∠APB，∴∠APB＝∠CPF． ……………………12分

證明△BEP≌△CFP可參照給分．

28．（1）令y＝0，得x²－1＝0，解得x＝±1，令x＝0，得y＝－1

∴ A（－1，0），B（1，0），C（0，－1）          ……………………2分

（2）∵OA＝OB＝OC＝1   ∴∠BAC＝∠ACO＝∠BCO＝45°

∵AP∥CB，        ∴∠PAB＝45°

      過點P作PE⊥x軸于E，則△APE為等腰直角三角形

令OE＝a，則PE＝a＋1  ∴P（－a，a＋1）

∵點P在拋物線y＝x²－1上 ∴a＋1＝a²－1  

解得a₁＝2，a₂＝－1（不合題意，舍去）
      ∴PE＝3????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

∴四邊形ACBP的面積＝AB•OC+AB•PE

＝?????????????????????????????????????????????? 6分

（3）假設存在．

∵∠PAB＝∠BAC＝45°   ∴PA⊥AC

∵MGx軸于點G，   ∴∠MGA＝∠PAC＝90°

在Rt△AOC中，OA＝OC＝   ∴AC＝

在Rt△PAE中，AE＝PE＝   ∴AP＝ ???????????????????????????????????????????????????????? 7分

設M點的橫坐標m，則M（m，m²－1）

①點M在y軸右側時，則m＞1

(?) 當△AMG∽△PCA時，有＝

∵AG＝m－1，MG＝m²－1

即 

解得m₁＝1（舍去），m₂＝（舍去）

(?) 當△MAG∽△PCA時有＝

即

解得：m₁＝1（舍去），m₂＝2（舍去）

∴M（2，3）??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

② 點M在y軸左側時，則m＜－1，

(?) 當△AMG∽△PCA時有＝

∵AG＝－m＋1，MG＝m²－1     

∴   

解得m₁＝1（舍去），m₂＝ 

      ∴M（）

(?) 當△MAG∽△PCA時有＝ 

即

解得： m₁＝－1（舍去），m₂＝－4

∴M（－4，15）

∴存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似

M點的坐標為（2，3），（），（－4，15）?????????????????????????????????????? 12分