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某校高三數學競賽初賽考試后，對考生成績進行統計（考生成績均不低于90分，滿分150分），將成績按如下方式分成六組，第一組[90，100）、第二組[100，110）…第六組[140，150]．如圖為其頻率分布直方圖的一部分，若第四、五、六組的人數依次成等差數列，且第六組有4人．
（Ⅰ）請補充完整頻率分布直方圖，并估計這組數據的平均數M；
（Ⅱ）現根據初賽成績從第四組和第六組中任意選2人，記他們的成績分別為x，y．若|x-y|≥10，則稱此二
人為“黃金幫扶組”，試求選出的二人的概率P₁；
（Ⅲ）以此樣本的頻率當作概率，現隨機在這組樣本中選出的3名學生，求成績不低于120分的人數ξ分布列及期望．

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第I卷（選擇題共50分）

一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中有且只有一項是符合題目要求的.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

總分

答案

D

B

C

C

C

D

B

D

B

D

第Ⅱ卷（非選擇題共100分）

二、填空題:本大題共7個小題，每小題4分，共28分，將答案填寫在題中的橫線上.

    11．  0                          12．                    

    13．     -1                       14．            

15.                16.                 17.___ ④____

三、解答題:本大題共5個小題，第18-21題每小題14分，第22題16分,共72分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

18、數列滿足:

(Ⅰ)記,求證:是等比數列;(Ⅱ)求數列的通項公式;

解：(Ⅰ)

，是等比數列;

(Ⅱ)

19、如圖,平面四邊形ABCD中, AB=13, AC=10, AD=5,,=120,

(Ⅰ) 求;  (Ⅱ) 設求實數x、y的值.

解：(Ⅰ)設

(Ⅱ)

（其他方法解對同樣給分）

20、如圖，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的各棱長都相等，D、E分別是CC₁和AB₁的中點，點F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3 

(Ⅰ)若M為AB中點，求證  BB₁∥平面EFM；

(Ⅱ)求證  EF⊥BC；

(Ⅲ)求二面角A₁―B₁D―C₁的大小 

(1)    證明 連結EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB

（和AB₁的中點，

∴BB₁∥ME，又BB₁平面EFM，∴BB₁∥平面EFM 

(2)證明  取BC的中點N，連結AN由正三棱柱得  AN⊥BC，

又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中點，故MF∥AN，

∴MF⊥BC，而BC⊥BB₁，BB₁∥ME 

∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，

又EF平面EFM，∴BC⊥EF 

(3)解  取B₁C₁的中點O，連結A₁O知，A₁O⊥面BCC₁B₁，由點O作B₁D的垂線OQ，垂足為Q，連結A₁Q，由三垂線定理，A₁Q⊥B₁D，故∠A₁QD為二面角A₁―B₁D―C的平面角，易得∠A₁QO=arctan 

（建立坐標系解對同樣給分）

21、已知點D在定線段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一個動圓C過點D且與MN相切，分別過M、N作圓C的另兩條切線交于點P．

（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求點P的軌跡方程；

（Ⅱ）過點M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點A、B，

若=λ，且λ∈[2－，2＋]，記直線l

與直線MN夾角為θ，求的取值范圍．

解：（Ⅰ）以直線MN為x軸，MN的中點為坐標原點O，

建立直角坐標系xOy．　

∵PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝1

或PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝－1

∴點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為1的雙曲線（不包含頂點），

其軌跡方程為（y≠0）　

（Ⅱ）設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則＝(x₁＋2，y₁)，＝(x₂＋2，y₂)

設AB：my＝x＋，代入得，3(my－)²－y²－2＝0，

即(8m²－1)y²－24my＋16＝0．

∴　＝λ，y₁＝-λy₂，∴　

得，，

∴∈[-2，0]，即

∴　，故

22、已知函數是定義在上的奇函數，當時，有

（其中為自然對數的底，）．

（Ⅰ）若,求函數的解析式；

（Ⅱ）試問：是否存在實數，使得當，的最小值是？如果存在，求出實數的值；如果不存在，請說明理由．

（Ⅲ）設（），求證：當時，；

解：（Ⅰ）當時，，故有，由此及是奇函數得，因此，函數的解析式為；

（Ⅱ）當時，：

①若，則在區間上是減函數，故此時函數在區間上沒有最小值；

②若，則令，且在區間上是減函數，而在區間上是增函數，故當時，．

令．

綜上所述，當時，函數在區間上的最小值是3．

（Ⅲ）證明：令。當時，注意到，故有

．

       ①當時，注意到，故

；

       ②當時，有，故函數在區間上是增函數，從而有

。

       因此，當時，有。

       又因為是偶函數，故當時，同樣有，即．

       綜上所述，當時，有；