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已知，設和是方程的兩個根，不等式對任意實數恒成立；函數有兩個不同的零點.求使“P且Q”為真命題的實數的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了命題和函數零點的運用。由題設x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當a∈[1,2]時，的最小值為3. 當a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實數a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真即可。

解：由題設x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實數a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

綜上，要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真，即

解得實數m的取值范圍是(4,8]

 

設代數方程a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，則，比較兩邊x²的系數得a₁=    ；若已知展開式對x∈R，x≠0成立，則由于有無窮多個根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是，利用上述結論可得=    ．

設代數方程a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，則，比較兩邊x²的系數得a₁=    ；若已知展開式對x∈R，x≠0成立，則由于有無窮多個根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是，利用上述結論可得=    ．

設代數方程a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，則，比較兩邊x²的系數得a₁=    ；若已知展開式對x∈R，x≠0成立，則由于有無窮多個根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是，利用上述結論可得=    ．

設代數方程a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，則，比較兩邊x²的系數得a₁=    ；若已知展開式對x∈R，x≠0成立，則由于有無窮多個根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是，利用上述結論可得=    ．