題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分13分)
如圖，已知
、
為平面上的兩個定點
，
，且
，
（
為動點，
是
和
的交點）.
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系求出點的軌跡方程；
（Ⅱ）若點的軌跡上存在兩個不同的點
、
，且線段
的中垂線與直線
相交于一點
，證明
＜
（
為的中點）．
(本小題滿分13分)
如圖，已知平行四邊形
和矩形
所在的平面互相垂直，
，
是線段
的中點.
（1）求證：
；（2）求二面角
的大小；
（3）設點
為一動點，若點從出發，沿棱按照
的路線運動到點
，求這一過程中形成的三棱錐
的體積的最小值.
(本小題滿分13分)
如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是菱形，∠BCD＝60°，點E是BC邊的中點，AC與DE交于點O，PO⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求證：PD⊥BC；
(Ⅱ)若AB＝6，PC＝6，求二面角P－AD－C的大小；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，求異面直線PB與DE所成角的余弦值.
(本小題滿分13分)
如圖，已知橢圓
:
的離心率為
，左焦點為
，過點
且斜率為
的直線
交橢圓于
兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍；
（Ⅲ）在
軸上，是否存在定點
，使
恒為定值？若存在，求出點的坐標和這個定值；若不存在，說明理由．
(本小題滿分13分)
如圖，已知
、
為平面上的兩個定點
，
，且
，
（
為動點，
是
和
的交點）.
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系求出點的軌跡方程；
（Ⅱ）若點的軌跡上存在兩個不同的點
、
，且線段
的中垂線與直線
相交于一點
，證明
＜
（
為的中點）．
2009年4月
一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．
1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．C 7．D 8．B 9．B 10．C
二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．
11．
12．
13．
14．
15．①②⑤
三、解答題：本題共6小題，共75分．
16．解：(1) 
??????????????????????????????????????? 3分
∴ 
∵ 
∴ 
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
∴ 
(2) 
????????????????????????????????????????????????????? 8分
∴ 
????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
∴ 
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
∴ 
?????????????? 13分
17．解：(1) 有兩道題答對的概率為
，有一道題答對的概率為
??????????????????????????? 2分
∴ 
????????????????????????????????????????????????????????? 5分
(2) 
?????????????????????????????????????????????????????? 7分
?????????????????????????????? 9分
??????????????????????????????? 11分
∴ 
的分布列為
35
40
45
50
P
???????????????????????????????????? 13分
18．(1) 證明：取CE中點M，則 FM
DE
∵ ABDE ∴ ABFM
∴ ABMF為平行四邊形
∴ AF∥BM
又AF
平面BCE，BM
平面BCE
∴ AF∥平面BCE??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
(2) 解：過C作l∥AB，則l∥DE ∴ 平面ABC
平面CDE = l
∵ AB⊥平面ACD ∴ l⊥平面ACD
∴ ∠ACD即為所求二面角的平面角，為60
?????????????????????????????????? 8分
(3) 解：設B在平面AFE內的射影為
，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G．
∴ BE與平面AFE所成角為
∵ AF⊥CD，AF⊥DE ∴ AF⊥平面CDE ∴ AF⊥MN ∴ MN⊥平面AEF
∵ BM∥平面AEF ∴ 
由△CGF∽△EDF，得
∴ 
而 
∴ 
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
19．解：(1) 
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
由
由
∴ 
上單調遞減，在
上單調遞增????????????????????????? 5分
(2) 
?????????????????????????????????????????? 6分
∵ 上遞減 ∴ 
??????????????? 9分
設
∵ 
∴
上遞減
∴ 
即 
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．解：(1) B（0，? b），A（
，0），F（c，0），P（c，
）
∵ 
∴ D為線段FP的中點，
∴ D為（c，
）??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
∴ 
，∴ a = 2b，
∴ 
?????????????????????????????????????????????? 5分
(2) a = 2，則b = 1，B（0，?1） 雙曲線的方程為
①
設M（x1，y1），N（x2，y2），C（0，m）
由
由已知
???????????????????????????? 7分
設
整理得：
對滿足
的k恒成立
∴ 
．
故存在y軸上的點C（0，4），使
為常數17．????????????????????? 12分
21．解：(1) 
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
切線方程為
與y = kx聯立得：
，令y = 0得：xB = 2t????????????????????????????????????????????????? 3分
∴ 
??????????????????????????????????????????????????????? 4分
(2) 由
??????????????????????????????????????????????????? 5分
兩邊取倒數得：
∴ 
∴ 
是以
為首項，為公比的等比數列（
時）
或是各項為0的常數列（k = 3時），此時an = 1
時
??????????????????????????????? 7分
當k = 3時也符合上式
∴
????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
(3) 作差得 
其中
由于 1 < k < 3，∴ 
∴ 
當
?????????????????????????????????????????????????? 12分
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