如圖，正方形ABCD的邊長為，以O為原點建立平面直角坐標系，點A在x軸的負半軸上，點C在y軸的正半軸上，把正方形ABCO繞點O順時針旋轉α后得到正方形A₁B₁C₁O(α＜45°)，B₁C₁交y軸于點D，且D為B₁C₁的中點，拋物線y＝ax²＋bx＋c過點A₁，B₁，C₁．

(1)求tanα的值；

(2)求點A₁的坐標，并直接寫出點B₁、點C₁的坐標；

(3)求拋物線的函數表達式及其對稱軸；

(4)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PB₁C₁為直角三角形，若存在，直接寫出所有滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．