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（1）若橢圓的方程是：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的左、右焦點依次為F₁、F₂，P是橢圓上異于長軸端點的任意一點．在此條件下我們可以提出這樣一個問題：“設△PF₁F₂的過P角的外角平分線為l，自焦點F₂引l的垂線，垂足為Q，試求Q點的軌跡方程？”
對該問題某同學給出了一個正確的求解，但部分解答過程因作業本受潮模糊了，我們在

這些模糊地方劃了線，請你將它補充完整．
解：延長F₂Q 交F₁P的延長線于E，據題意，
E與F₂關于l對稱，所以|PE|=|PF₂|．
所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=，
在△EF₁F₂中，顯然OQ是平行于EF₁的中位線，
所以|OQ|=

1

2

|EF₁|=，
注意到P是橢圓上異于長軸端點的點，所以Q點的軌跡是，
其方程是：．
（2）如圖2，雙曲線的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），它的左、右焦點依次為F₁、F₂，P是雙曲線上異于實軸端點的任意一點．請你試著提出與（1）類似的問題，并加以證明．

袋子中裝有大小形狀完全相同的m個紅球和n個白球，其中m，n滿足m>n≥2且m+n≤l0（m，n∈N⁺），若從中取出2個球，取出的2個球是同色的概率等于取出的2個球是異色的概率．

(Ⅰ) 求m，n的值；

(Ⅱ) 從袋子中任取3個球，設取到紅球的個數為，求的分布列與數學期望．

【解析】第一問中利用,解得m=6，n=3.

第二問中，的取值為0，1，2，3. P（=0）= ，     P（=1）=

P（=2）= ，   P（=3）=

得到分布列和期望值

解：（I）據題意得到        解得m=6，n=3.

（II）的取值為0，1，2，3.

P（=0）= ，     P（=1）=

P（=2）= ，   P（=3）=

的分布列為

所以E=2

 

據某城市2002年末所作的統計資料顯示，到2002年末，該城市堆積的垃圾已達50萬噸，侵占了大量的土地，并且成為造成環境污染的因素之一．根據預測，從2003年起該城市還將以每年3萬噸的速度產生新的垃圾，垃圾的資源化和回收處理已經成為該市城市建設中的重要問題．
（1）假設1992年底該城市堆積的垃圾為10萬噸，從1993年到2002年這十年中，該城市每年產生的新垃圾以8%的年平均增長率增長，試求1993年該城市產生的新垃圾約有多少萬噸？（精確到0.01，參考數據：1.08¹⁰≈2.159）
（2）如果從2003年起，該市每年處理上年堆積垃圾的20%，現有b₁表示2003年底該市堆積的垃圾數量，b₂表示2004年底該市堆積的垃圾數量…b_n表示2002+n年底該城市堆積的垃圾數量，①求b₁；②試歸納出b_n的表達式（不用證明）；③計算

lim

n→∞

b_n，并說明其實際意義．

已知數列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…

1

n(n+1)

…計算S₁，S₂，S₃，根據據算結果，猜想S_n的表達式，并用數學歸納法進行證明．