Question

【題目】如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D.

（1）請你寫出圖中所有的等腰三角形；

（2）請你判斷AD與BE垂直嗎？并說明理由.

（3）如果BC=10，求AB+AE的長.

Answer 1

【答案】（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC（2）垂直，理由見解析（3）10．

【解析】

（1）根據等腰三角形的定義判斷；

（2）由題意可知△ABE關于BE與△DBE對稱，可得出BE⊥AD；

（3）根據（2），可知△ABE關于BE與△DBE對稱，且△DEC為等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10．

（1）△ABC等腰直角三角形，BE為角平分線；易證△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均為等腰三角形；∠C＝45°，ED⊥DC，△EDC也符合題意，綜上所述符合題意的三角形為有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；

（2）AD與BE垂直．

證明：由BE為∠ABC的平分線，

知∠ABE＝∠DBE，∠BAE＝∠BDE＝90°，AE＝DE，

∴△ABE沿BE折疊，一定與△DBE重合．

∵A、D是對稱點，

∴AD⊥BE；

（3）∵△ABD，△ADE，△EDC是等腰三角形

∴AB＝BD，AE＝DE＝DC，

∴AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10．