Question

【題目】如圖1，已知數軸上兩點A，B對應的數分別是﹣1，3，點P為數軸上的一動點，其對應的數為x

（1）A、B兩點的距離AB=　 　；

（2）在數軸上是否存在點P，使PA+PB=6？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，若點P以每秒1個單位的速度從點O出發向右運動，同時點A以每秒5個單位的速度向左運動，點B以每秒20個單位的速度向右運動，在運動的過程中，M、N分別是AP、OB的中點，問：的值是否發生變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）當x=﹣1.5或3.5時，PA+PB=5；（3）的值不發生變化，理由詳見解析．

【解析】

（1）根據點A、B對應的數，利用兩點間的距離公式即可求出AB的長；

（2）分三種情況考慮：①當點P在點A左側時，由PA+PB=5可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；②當點P在點A、B中間時，由PA+PB=4與PA+PB=5沖突，舍去；③當點P在點B右側時，由PA+PB=5可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；

（3）當運動時間為t秒時，找出OP、OA、OB的長度，進而可得出AP的長度，由M、N分別是AP、OB的中點，可得出AM、OM、MN的長度，再代入中即可求出結論．

（1）A、B兩點的距離AB=3﹣（﹣1）=4，

故答案為：4；

（2）分三種情況考慮：

①當點P在點A左側時：PA+PB=|x+1|+|x﹣3|=﹣（x+1）﹣（x﹣3）=﹣2x+2=5，

解得：x=﹣1.5；

②當點P在點A、B中間時：PA+PB=4（舍去）；

③當點P在點B右側時：PA+PB=|x+1|+|x﹣3|=（x+1）+（x﹣3）=2x﹣2=5，

解得：x=3.5；

綜上所述：當x=﹣1.5或3.5時，PA+PB=5；

（3）的值不發生變化，

理由如下：當運動時間為t秒時，則OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3，

∴AP=OA+OP=5t+1+t=6t+1，

∴2AP=12t+2，

∵M、N分別是AP、OB的中點，

∴AM=AP=3t+，ON=OB=10t+，

∴OM=OA﹣AM=5t+1﹣（3t+）=2t+，

∴MN=OM+ON=2t++10t+=12t+2，

∴2AP =MN=12t+2，

∴的值不發生變化．