Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC, AB = CD,E是AD的中點，AD=4，BC=6,點P是BC邊上的動點（不與點B重合），PE與BD相交于點O,設PB的長為x.

(1) 當P點在BC邊上運動時，求證：△BOP∽△DOE.
(2) 當x = （   ）時，四邊形ABPE是平行四邊形；當x = （   ）時，四邊形ABPE是直角梯形；
（3）當P在BC上運動的過程中，四邊形ABPE會不會是等腰梯形？試說明理由.

Answer 1

（1）證明見解析(2) 2；3（3）當PB=4時，四邊形ABPE是等腰梯形

（1） ∵AD∥BC，
∴∠CBD = ∠ADB.
∵∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE.              ………………………………3分
（2）2；3                          ………………………………5分
（3）當PB=4時，四邊形ABPE是等腰梯形.     ………………6分
證明：∵AD∥BC即DE∥PC，
∴當PC=DE=2,即PB=BC-PC=4時，四邊形PCDE是平行四邊形，
∴PE=CD.
又∵AB=CD，
∴PE=AB.
∵AE∥PB且AE與PB不相等，
∴四邊形ABPE是等腰梯形.        ………………………………9分
(1)根據相似三角形的判定求證
(2)根據平行四邊形和直角梯形的性質求解
（3）根據等腰梯形的性質求證