Question

如圖，平面直角坐標系中，矩形的頂點在原點，點在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上．已知，，是的中點，是的中點．

（1）分別寫出點、點的坐標；
（2）過點作交軸于點，求點的坐標；
（3）在線段上是否存在點，使得以點、、為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）E（8，3），F（4，6）
（2）M（，0）
（3）存在點P（0，3），此時△PEF是等腰三角形

解：（1）E（8，3），F（4，6）　　　　　　……………………3分
（2）∵
∴
∵
∴
　　又∵
∴△AEM∽△BFE　　………………5分
∴
即
∴　　　　　　　　　　　　　……………………7分
∴
∴M（，0）　　　　　　　　　　　　……………………9分
（3）如圖，設P（0，n）過點P作PH⊥AB于點H，

在Rt△中，

在Rt△中，
在Rt△中，
①當時
　　　　
　　　即＝
　　　　解得（不合題意，舍去）　　　　……………………10分
②當時
　　　
　　　即＝25
　　　　此方程無解　　　　　　　　　　　　　……………………11分
③當時
　　　
　　　即＝25
　　　解得，＝9（不合題意，舍去）　　　……………………12分
綜上，存在點P（0，3），此時△PEF是等腰三角形．……………………13分