Question

如圖，直線與⊙O相切于點D，過圓心O作EF∥交⊙O于E、F兩點，點A是⊙O上一點，連接AE，AF，并分別延長交直線于B、C兩點；

（1）求證：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）若⊙O的半徑，BD=12，求tan∠ACB的值．

Answer 1

解（1）證明：如圖，∵EF是⊙O的直徑，∴∠EAF=90°。∴∠ABC+∠ACB=90°。
（2）連接OD，則OD⊥BD，過點E作EH⊥BC，垂足為點H，

∴ EH∥OD。         
∵EF∥BC，EH∥OD， OE=OD，
∴四邊形EODH是正方形 。∴EH=HD=OD=5。
∵BD=12，∴BH=7。
在Rt△BEH中，tan∠BEH=。
又∵∠ABC+∠BEH=90°,∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠BEH。∴tan∠ACB。

（1）由直徑所對圓周角是直角的性質和三角形內角和定理可得結論。
（2）求出tan∠BEH=，由∠ACB=∠BEH可得結論。