Question

【題目】已知∠AOB=α（90°＜α＜180°），∠COD在∠AOB的內部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．

（1）若∠COD=180°-α時，探索下面兩個問題：

①如圖1，當OC在OD左側，求∠MON的度數；

②當OC在OD右側，請在圖2內補全圖形，并求出∠MON的度數（用含α的代數式表示）；

（2）如圖3，當∠COD=kα，且CO在OD左側時，直接寫出∠MON的度數（用含α，k的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）①∠MON＝90°；②∠MON＝α90°；（2）∠MON的度數為（1＋k）α．理由見解析.

【解析】

（1）①根據角平分線的定義，得出∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，再根據∠AOB＝α，∠COD＝180°α，得出∠AOC＋∠BOD＝∠AOB∠COD＝α（180°α）＝2α180°，進而得出∠AOM＋∠BON＝（2α180°）＝α90°，最后根據∠MON＝∠AOB（∠AOM＋∠BON）進行計算即可；②根據①中的方法進行計算，即可得出∠MON的度數；
（2）先根據角平分線的定義，得出∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，再根據∠AOB＝α，∠COD＝kα，得出∠AOC＋∠BOD＝∠AOB∠COD＝αkα，進而得到∠AOM＋∠BON＝（αkα）＝α（1k），最后根據∠MON＝∠AOB（∠AOM＋∠BON）進行計算即可．

（1）①如圖1，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∴∠AOM＋∠BON＝（∠AOC＋∠BOD），
∵∠AOB＝α，∠COD＝180°α，
∴∠AOC＋∠BOD＝∠AOB∠COD＝α（180°α）＝2α180°，
∴∠AOM＋∠BON＝（2α180°）＝α90°，
∴∠MON＝∠AOB（∠AOM＋∠BON）＝α（α90°）＝90°；
②當OC在OD右側，補全圖形如圖2所畫，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∵∠AOB＝α，∠COD＝180°α，
∴∠AOC＋∠BOD＝∠AOB＋∠COD＝α＋（180°α）＝180°，
∴∠AOM＋∠BON＝×180°＝90°，
∴∠MON＝∠AOB（∠AOM＋∠BON）＝α90°；
（2）∠MON的度數為（1＋k）α．
理由：如圖3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∴∠AOM＋∠BON＝（∠AOC＋∠BOD），
∵∠AOB＝α，∠COD＝kα，
∴∠AOC＋∠BOD＝∠AOB∠COD＝αkα，
∴∠AOM＋∠BON＝（αkα）＝α（1k），
∴∠MON＝∠AOB（∠AOM＋∠BON）＝αα（1k）＝（1＋k）α．