Question

【題目】綜合與探究

問題情境：

在綜合實踐課上，李老師讓同學們根據如下問題情境，寫出兩個數學結論：如圖（1），正方形ABCD的對角線交于點O，點O又是正方形OEFG的一個頂點（正方形OEFG的邊長足夠長），將正方形OEFG繞點O做旋轉實驗，OE與BC交于點M，OG與DC交于點N．

“興趣小組”寫出的兩個數學結論是：

①S△OMC+S△ONC＝S正方形ABCD；

②BM2+CM2＝2OM2．

問題解決：

（1）請你證明“興趣小組”所寫的兩個結論的正確性．

類比探究：

（2）解決完“興趣小組”的兩個問題后，老師讓同學們繼續探究，再提出新的問題；“智慧小組“提出的問題是：如圖（2），將正方形OEFG在圖（1）的基礎上旋轉一定的角度，當OE與CB的延長線交于點M，OG與DC的延長線交于點N，則“興趣小組”所寫的兩個結論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）結論①不成立，結論②成立，理由詳見解析.

【解析】

（1）①利用正方形的性質判斷出△BOM≌△CON，利用面積和差即可得出結論；

②先得出OM＝ON，BM＝CN，再用勾股定理即可得出結論；

（2）同（1）的方法即可得出結論．

解：（1）①∵正方形ABCD的對角線相交于O，

∴S△BOC＝S正方形ABCD，OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OBM＝∠OCN，

∵四邊形OEFG是正方形，

∴∠MON＝90°，

∴∠BOC﹣∠MOC＝∠MON﹣∠MOC，

∴∠BOM＝∠COM，

∴△BOM≌△CON，

∴S△BOM＝S△CON，

∴S△OMC+S△ONC＝S△OMC+S△BOM＝S正方形ABCD；

②由①知，△BOM≌△CON，

∴OM＝ON，BM＝CN，

在Rt△MCN中，MN2＝CM2+CN2＝CM2+BM2，

在Rt△MON中，MN2＝OM2+ON2＝2OM2，

∴BM2+CM2＝2OM2；

（2）結論①不成立，

理由：∵正方形ABCD的對角線相交于O，

∴S△BOC＝S正方形ABCD，OB＝BD，OC＝AC，AC＝BD，AC⊥BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC，

∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，

∴∠OBM＝∠OCN＝135°，

∵四邊形OEFG是正方形，

∴∠MON＝90°，

∴∠BOM＝∠CON，

∴△BOM≌△CON，

∴S△BOM＝S△CON，

∴S△OMC﹣S△BOM＝S△OMC﹣S△CON＝S△BOC＝S正方形ABCD，

∴結論①不成立；

結論②成立，理由：

如圖（2）

連接MN，∵△BOM≌△CON，

∴OM＝ON，BM＝CN，

在Rt△MCN中，MN2＝CM2+CN2＝CM2+BM2，

在Rt△MON中，MN2＝OM2+ON2＝2OM2，

∴BM2+CM2＝2OM2，

∴結論②成立．