Question

【題目】如圖，CD是經過∠BCA頂點C的一條直線，且直線CD經過∠BCA的內部，點E，F在射線CD上，已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）如圖1，若∠BCA=80°，∠α=90°，問EF=BE-AF，成立嗎？說明理由．

（2）將（1）中的已知條件改成∠BCA=∠β，∠α+∠β=180°（如圖2），問EF=BE-AF仍成立嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）EF=BE-AF成立，理由見解析；（2）EF=BE-AF成立，理由見解析.

【解析】

（1）根據已知條件可得∠B=∠ACE，證明△BCE≌△ CAF，則有BE=CF，AF=EC，所以可得EF=BE-AF；

（2）根據∠BCA=∠β，∠BEC=∠α=180°－∠β可求得∠B=∠ACE，則可證明△BCE≌△ CAF，則有BE=CF，AF=EC，所以可得EF=BE-AF.

（1）EF=BE-AF成立，理由如下：

∵∠BCA=80°（已知），

∴∠BCE+∠ACE=80°

∵∠BEC=∠α=100°（已知），

∴∠BEF=180°－100°=80°（平角定義）.

∴∠B+∠BCE=80°（三角形外角和定理）

∴∠B=∠ACE（等量代換）.

在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△ CAF(AAS)

∴BE=CF，AF=EC（全等三角形對應邊相等）.

∴EF=CF－CE=BE－AF（等量代換）.

（2）EF=BE-AF成立，理由如下：

∵∠BCA=∠β，

∴∠BCE+∠ACE=∠β

∵∠BEC=∠α=180°－∠β，

∴∠BEF=180°－∠α=∠β.

∴∠B+∠BCE=∠β.

∴∠B=∠ACE

在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△ CAF(AAS)

∴BE=CF，AF=EC

∴EF=CF－CE=BE－AF.