Question

【題目】已知∠MCN＝45°，點B在射線CM上，點A是射線CN上的一個動點（不與點C重合）．點B關于CN的對稱點為點D，連接AB、AD和CD，點F在直線BC上，且滿足AF⊥AD．小明在探究圖形運動的過程中發現AF＝AB：始終成立．

如圖，當0°＜∠BAC＜90°時．

① 求證：AF＝AB；

② 用等式表示線段與之間的數量關系，并證明；

當90°＜∠BAC＜135°時，直接用等式表示線段CF、CD與CA之間的數量關系是 ．

Answer 1

【答案】①證明過程見解析，②CD+CF＝AC，過程見解析； ．

【解析】

①過點A作AG⊥BC于G，作AH⊥CD于H，判斷出四邊形AGCH是矩形，得出∠GAH=90°，得出∠FAG=∠DAH，進而判斷出△FAG≌△DAH，即可得出結論； ②由矩形AGCH是正方形，判斷出CH=CG，∠CAH=∠DCA=45°，由①知，△AGF≌△AHD，得出FG=DH，即CH=，再根據勾股定理得，AC= CH，即可得出結論；

同（1）的方法判斷出△AHD≌AGF，得出DH=FG，進而得出CH=，即可得出結論．

解：（1）①如圖1， ∵點D，B關于CD對稱，

∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，∠ACD=∠MCN=45°，

∴∠DCM=90°，

過點A作AG⊥BC于G，作AH⊥CD于H，

∴AG=AH，∠AGC=∠AHC=∠DCM=90°，

∴四邊形AGCH是矩形，

∴∠GAH=90°，

∵AF⊥AD，

∴∠FAD=90°，

∴∠FAG=∠DAH，

∴△AGF≌△AHD（ASA），

∴AF=AD，

∵AB=AD，

∴AF=AB；

②結論：CD+CF=AC， 理由：由①知，四邊形AGCH是矩形，AG=AH，

∴矩形AGCH是正方形，

∴CH=CG，∠CAH=∠DCA=45°，

由①知，△AGF≌△AHD，

∴FG=DH，

∴CD+CF=CH+DH+CG-FG=2CH，

∴CH=，

根據勾股定理得，AC=CH=，

∴CD+CF＝；

（2）結論：CD-CF=AC， 理由：如備用圖， 同（1）的方法得，△AHD≌AGF，

∴DH=FG，

∴CD-CF=CH+DH-FG+CG=2CH，

∴CH=，

根據勾股定理得，AC=CH=，

∴CD-CF=AC，

故答案為：CD-CF=AC．