【題目】規定一種新的運算△：a△b＝a（a＋b）﹣a＋b．例如，1△2＝1×（1＋2）﹣1＋2＝4．
（1）8△9＝ ；
（2）若x△3＝11，求x的值；
（3）求代數式﹣x△4的最小值．
【答案】（1）137；（2）x1＝2，x2＝﹣4；（3）
【解析】
（1）根據a△b＝a（a＋b）﹣a＋b，可以求得所求式子的值；
（2）根據a△b＝a（a＋b）﹣a＋b，可以求得所求方程的解；
（3）根據a△b＝a（a＋b）﹣a＋b，可以將題目中的代數式化簡，然后利用二次函數的性質，即可得到所求代數式的最小值．
解：（1）∵a△b＝a（a＋b）﹣a＋b，
∴8△9
＝8×（8＋9）﹣8＋9
＝8×17﹣8＋9
＝136﹣8＋9
＝137，
故答案為：137；
（2）∵x△3＝11，
∴x（x＋3）﹣x＋3＝11，
解得，
＝2，
＝﹣4；
（3）∵﹣x△4
＝﹣x（﹣x＋4）＋x＋4
＝x2﹣4x＋x＋4
＝
﹣3x＋4
＝
＋，
∴當x＝
時，﹣x△4有最小值．
第1卷單元月考期中期末系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，以CD為直徑的⊙O分別交AC，BC于點E，F兩點，過點F作FG⊥AB于點G．
（1）試判斷FG與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AC=6，CD＝5，求FG的長．
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【題目】如圖，拋物線
過坐標原點和
，
兩點．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）在線段
右側的拋物線上是否存在一點
，使得分
的面積為
兩部分？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
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【題目】已知銳角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．
（1）求證：△BDF≌△ADC；
（2）若BD＝4，DC＝3，求線段BE的長度．
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【題目】如圖，點I為△ABC的內心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，將∠ACB平移，使其頂點與點I重合，則圖中陰影部分的周長為（ ）
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】問題探究．
如圖，在平面直角坐標系中，A(0，8)，C(6，0)，以O，A，C為頂點作矩形OABC，動點P從點A出發，沿AO以4個單位每秒的速度向O運動；同時動點Q從點O出發沿OC以3個單位每秒的速度向C運動．設運動時間為t，當動點P，Q中的任何一個點到達終點后，兩點同時停止運動．連接PQ．
（情景導入）當t＝1時，求出直線PQ的解析式．
（深入探究）①連接AC，若△POQ與△AOC相似，求出t的值．
②如圖，取PQ的中點M，以QM為半徑向右側作半圓M，直接寫出半圓M的面積的最小值，并直接寫出此時t的值．
（拓展延伸）如圖，過點A作半圓M的切線，交直線BC于點H，于半圓M切于點N．
①在P，Q的整個運動過程中，點H的運動路徑為 ．
②若固定點H(6，2)不動，則在整個運動過程中，半圓M能否與梯形AOCH相切？若能，求出此時t的值；若不能，請證明．
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【題目】我國魏晉時期的數學家劉徽創立了“割圓術”，認為圓內接正多邊形邊數無限增加時，周長就越接近圓周長，由此求得了圓周率π的近似值，設半徑為r的圓內接正n邊形的周長為L，圓的直徑為d，如圖所示，當n＝6時，π≈
＝
＝3，那么當n＝12時，π≈≈________(結果精確到0.01，參考數據：sin15°＝cos75°≈0.259)．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知∠MCN＝45°，點B在射線CM上，點A是射線CN上的一個動點（不與點C重合）．點B關于CN的對稱點為點D，連接AB、AD和CD，點F在直線BC上，且滿足AF⊥AD．小明在探究圖形運動的過程中發現AF＝AB：始終成立．
如圖，當0°＜∠BAC＜90°時．
① 求證：AF＝AB；
② 用等式表示線段
與
之間的數量關系，并證明；
當90°＜∠BAC＜135°時，直接用等式表示線段CF、CD與CA之間的數量關系是 ．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，點E為△ABC的內心，連接AE并延長交⊙O于D點，連接BD并延長至F，使得BD=DF，連接CF、BE．
（1）求證：DB=DE；
（2）求證：直線CF為⊙O的切線．
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