Question

【題目】問題背景

在綜合實踐課上，同學們以圖形的平移與旋轉為主題開展數學活動,如圖（1），先將一張等邊三角形紙片對折后剪開，得到兩個互相重合的△ABD和△EFD，點E與點A重合，點B與點F重合，然后將△EFD繞點D順時針旋轉，使點F落在邊AB上，如圖（2），連接EC.

操作發現

（1）判斷四邊形BFEC的形狀，并說明理由；

實踐探究

（2）聰聰提出疑問：若等邊三角形的邊長為8，能否將圖（2)中的△EFD沿BC所在的直線平移a個單位長度（規定沿射線BC方向為正），得到△，連接，，使得得到的四邊形為菱形，請你幫聰聰解決這個問題，若能，請求出a的值；若不能，請說明理由。

（3）老師提出問題：請參照聰聰的思路，若等邊三角形的邊長為8，將圖（2）中的△EFD在平面內進行一次平移，得到△，畫出平移后構造出的新圖形，標明字母，說明平移及構圖方法，寫出你發現的一個結論，不必證明．

Answer 1

【答案】（1）四邊形BFEC為平行四邊形，理由見解析；（2）能， 或；（3）作圖見解析，結論為：四邊形為矩形．

【解析】

（1）由等邊三角形的性質及旋轉的性質求得△BFD為等邊三角形，從而求得EF∥BC且EF=BC，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行判斷；

（2）分三角形沿射線BC和射線CB方向平移兩種情況，結合菱形的性質及勾股定理求得CG的長度，從而求解；

（3）在（1）問的基礎上，利用平移及等邊三角形的性質構造矩形作圖，從而求解．

（1）四邊形BFEC為平行四邊形．

理由如下：∵△ABC為等邊三角形

∴∠ABD=60°，AB=BC

由題意，知FD=BD

∴△BFD為等邊三角形

∴∠FDB=60°

∵∠EFD=60°

∴EF∥BC

∵EF=AB=BC

∴四邊形BEFC為平行四邊形．

（2）在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=DC=4

∴AD=4

當△DEF沿射線BC方向平移時，過點作G垂直BC交BC的延長線于點G

∵∥BC，=30°

∴=30°

在Rt△中，=4

∴=2

∴=6

∵四邊形為菱形

∴=8

在Rt△中，由勾股定理得CG=

∴DG=DC+CG=4+2

∴=DG-=2-2

當△EDF沿射線CB方向平移時，同理可得=2+2，即a=-2-2

∴a=-2-2或2-2

（3）將圖（2）中的△EFD在平面內沿CB方向平移2個單位長度，得到△

此時

∴四邊形為矩形