Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F分別在CD、BC的延長(zhǎng)線上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足為點(diǎn)F，DF＝2．

（1）求證：D是EC中點(diǎn)；

（2）求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可以得到AB∥CD，又AE∥BD，可以證明四邊形ABDE是平行四邊形，所以AB＝DE，故D是EC的中點(diǎn)；

（2）連接DF，則△EFC是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得到△CDF是等邊三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

（1）證明：在平行四邊形ABCD中，

AB∥CD，且AB＝CD，

又∵AE∥BD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AB＝DE，

∴CD＝DE，

即D是EC的中點(diǎn)；

（2）解：∵EF⊥BF，

∴△EFC是直角三角形

又∵D是EC的中點(diǎn)，

∴DF＝CD＝DE＝2，

∵AB∥CD,∠ABC＝60°，

∴∠DCF＝60°，

∴△DCF是等邊三角形，

∴CF＝2，

∴在Rt△ECF中

EF＝＝＝2．

故答案為：（1）證明見解析；（2）2.