Question

【題目】如圖，在梯形中中，，是的中點，，，，，點是邊上一動點，設的長為.

（1）當的值為多少時，以點為頂點的三角形為直角三角形；

（2）當的值為多少時，以點為頂點的四邊形為平行四邊形；

（3）點在邊上運動的過程中，以為頂點的四邊形能否構成菱形？試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當的值為3或8時，以點為頂點的三角形為直角三角形；（2）當的值為1或11時，以點為頂點的四邊形為平行四邊形；（3）以點為頂點的四邊形能構成菱形，理由詳見解析.

【解析】

（1）過AD作于，于，當時，分情況討論，求出即可；

（2）分為兩種情況，畫出圖形，根據平行四邊形的性質推出即可；

（3）化成圖形，根據菱形的性質和判定求出BP即可．

解（1）如圖，分別過AD作于，于

∴

而

∴

∴

若以為頂點的三角形為直角三角形，

則或，（在圖中不存在）

當時

∴與重合

∴

當時

∴與重合

∴

故當的值為3或8時，以點為頂點的三角形為直角三角形；

（2）若以點為頂點的四邊形為平行四邊形，那么，有兩種情況：

①當在的左邊，

∵是的中點，

∴

∴

②當在的右邊，

故當的值為1或11時，以點為頂點的四邊形為平行四邊形；

（3）由（2）知，當時，以點為頂點的四邊形能構成菱形

當時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴，過作于，

∵，，則，

∴.

∴，

∴

故此時是菱形

即以點為頂點的四邊形能構成菱形.